Si supponga una successione definita nel seguente modo:

Questa può essere riscritta nel seguente modo:

e l'unica soluzione possibile è che valga
e
, deve cioé risultare
.
Se si passa a considerare degli indici continui, si vede che questa è esattamente la situazione ritrovata per la funzione
alla fine del paragrafo precedente. Ne consegue che deve essere verificata la (La trasformata di Fourier. La funzione d'onda per l'impulso) . Una funzione che si comporti in questo modo è chiamata delta di Dirac ed è indicata con
. Quindi, risulta:

Questo integrale definitorio in realtà non esiste. Infatti se deve valere 1 quando
e zero altrove, questo significa che la funzione sotto integrando deve valere infinito per
.
La delta di Dirac deve pertanto essere intesa nel senso di limite di una successione di funzioni che si stringono sempre più intorno a
in modo che l'area totale sia sempre 1.
Per avere un esempio concreto, si consideri la funzione gaussiana:

il cui integrale è dato da (ponendo
):

Risulta evidente che il valore dell'integrale è indipendente dal parametro
, per cui risulta verificato:

Risulta anche immediato verificare che:
![{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0} f_\alpha (x) = \begin{cases} 0 & \qquad x\neq 0\\[2ex] +\infty & \qquad x = 0 \end{cases} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/958a6f3ba649cddd3c3f5939f197b346002d7801)
e quindi per la definizione data sopra risulta proprio:

Si noti che quella della gaussiana è solo una delle tante rappresentazioni possibili della delta di Dirac. In effetti, data una funzione qualsiasi
tale che
e normalizzata tale che
, allora il limite:

rappresenta una funzione delta.
Si consideri ora una generica funzione
e l'integrale:

se la funzione
è regolare nell'origine significa che si può espandere in serie di MacLaurin:

per cui l'integrale diviene:

ora, i termini in
vanno a zero per
:

per cui se
è regolare nell'origine risulta effettivamente:

ovvero:

pertanto, per poter “utilizzare” una funzione delta sotto integrale, la funzione a cui è associata deve essere regolare nel punto in cui la delta si annulla.
La delta è una funzione pari e soddisfa la proprietà:

Si calcoli ora la trasformata di Fourier di una gaussiana.

È possibile completare l'esponente come un quadrato perfetto:

per cui la trasformata di Fourier diventa:

ponendo ora
, da cui
, l'integrale diventa:

per cui:
![{\displaystyle \mathcal{F}\left[e^{-\alpha ^2k^2}\right] = \frac{\alpha }{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{4\alpha ^2}} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e228588bba3f76878fc92779aa39f4d669b53f1c)
In conclusione, la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana, ma le loro larghezze sono inversamente proporzionali.