La funzione Delta di Dirac

Si supponga una successione definita nel seguente modo:

\{ n_ i\}  \qquad \qquad n_ i = \sum _{j}n_ j g_{ij} \qquad \forall i

Questa può essere riscritta nel seguente modo:

n_ i = n_ i g_{ii} + \sum _{i\neq j}n_ j g_{ij}

e l'unica soluzione possibile è che valga $g_{ii}=1$ $g_{ii}=1$ e $g_{ij}=0$ $g_{ij}=0$ , deve cioé risultare $g_{ij}=\delta _{ij}$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ .

Se si passa a considerare degli indici continui, si vede che questa è esattamente la situazione ritrovata per la funzione $\psi (x)$ $\psi (x)$ alla fine del paragrafo precedente. Ne consegue che deve essere verificata la (La trasformata di Fourier. La funzione d'onda per l'impulso) . Una funzione che si comporti in questo modo è chiamata delta di Dirac ed è indicata con $\delta (y-x)$ $\delta (y-x)$ . Quindi, risulta:

\int _{-\infty }^{+\infty } e^{ik(y-x)} dk = 2\pi \delta (y-x)

Questo integrale definitorio in realtà non esiste. Infatti se deve valere 1 quando $y=x$ $y=x$ e zero altrove, questo significa che la funzione sotto integrando deve valere infinito per $y=x$ $y=x$ .

La delta di Dirac deve pertanto essere intesa nel senso di limite di una successione di funzioni che si stringono sempre più intorno a $x=y$ $x=y$ in modo che l'area totale sia sempre 1.

Per avere un esempio concreto, si consideri la funzione gaussiana:

f_\alpha (x) = \frac{1}{\alpha }e^{-\frac{x^2}{4\alpha ^2}} \qquad \qquad \forall \alpha \neq 0

il cui integrale è dato da (ponendo $y\equiv x/2\alpha$ $y\equiv x/2\alpha$ ):

\int _{-\infty }^{+\infty } f_\alpha (x) dx = \frac{1}{\alpha }\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-\frac{x^2}{4\alpha ^2}} = 2\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-y^2}dy = 2\sqrt{\pi }

Risulta evidente che il valore dell'integrale è indipendente dal parametro $\alpha$ $\alpha$ , per cui risulta verificato:

\int _{-\infty }^{+\infty } f_\alpha (x) = \frac{1}{2\sqrt{\pi }\; \alpha }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\frac{x^2}{4\alpha ^2}} dx = 1

Risulta anche immediato verificare che:

\lim _{\alpha \to 0} f_\alpha (x) = \begin{cases}  0 & \qquad x\neq 0\\[2ex] +\infty & \qquad x = 0 \end{cases}

e quindi per la definizione data sopra risulta proprio:

\lim _{\alpha \to 0} f_\alpha (x) = \delta (x)

Si noti che quella della gaussiana è solo una delle tante rappresentazioni possibili della delta di Dirac. In effetti, data una funzione qualsiasi $F(x)$ $F(x)$ tale che $F(0)\neq 0$ $F(0)\neq 0$ e normalizzata tale che $\int _{-\infty }^{+\infty }F(x)dx=1$ $\int _{-\infty }^{+\infty }F(x)dx=1$ , allora il limite:

\lim _{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon }F\left(\frac{x}{\varepsilon }\right) = \delta (x)

rappresenta una funzione delta.

Si consideri ora una generica funzione $g(x)$ $g(x)$ e l'integrale:

\int _{-\infty }^{+\infty } g(x)f_\alpha (x) dx

se la funzione $g(x)$ $g(x)$ è regolare nell'origine significa che si può espandere in serie di MacLaurin:

g(x)=g(0)+g'(0)\cdot x+g''(0)\cdot x^{2}+O(3)

per cui l'integrale diviene:

g(0)\int _{-\infty }^{+\infty }f_{\alpha }(x)dx+g'(0)\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {x}{2{\sqrt {\pi }}\;\alpha }}e^{-{\frac {x^{2}}{4\alpha ^{2}}}}dx+g''(0)\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {x^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\;\alpha }}e^{-{\frac {x^{2}}{4\alpha ^{2}}}}dx+O(3)

ora, i termini in $x^{n}$ $x^ n$ vanno a zero per $\alpha \to 0$ $\alpha \to 0$ :

\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\frac{x^ n}{{2\alpha }}e^{-\frac{x^2}{4\alpha ^2}}dx = \int _{-\infty }^{+\infty }(2\alpha y)^ n e^{-y^2}dy = \frac{(2\alpha )^ n}{\sqrt{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }y^ ne^{-y^2}dy

per cui se $g(x)$ $g(x)$ è regolare nell'origine risulta effettivamente:

\int _{-\infty }^{+\infty } g(x)f_\alpha (x) dx = g(0)\int _{-\infty }^{+\infty }f_\alpha (x)dx = g(0)

ovvero:

\lim _{\alpha \to 0}\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f_\alpha (x)dx = \int _{-\infty }^{+\infty }g(x)\lim _{\alpha \to 0}f_\alpha (x)dx = \int _{-\infty }^{+\infty }g(x)\delta (0)dx = g(0)

pertanto, per poter “utilizzare” una funzione delta sotto integrale, la funzione a cui è associata deve essere regolare nel punto in cui la delta si annulla.

La delta è una funzione pari e soddisfa la proprietà: