La funzione Delta di Dirac

Si supponga una successione definita nel seguente modo:

Questa può essere riscritta nel seguente modo:

e l'unica soluzione possibile è che valga e , deve cioé risultare .

Se si passa a considerare degli indici continui, si vede che questa è esattamente la situazione ritrovata per la funzione alla fine del paragrafo precedente. Ne consegue che deve essere verificata la (La trasformata di Fourier. La funzione d'onda per l'impulso) . Una funzione che si comporti in questo modo è chiamata delta di Dirac ed è indicata con . Quindi, risulta:

Questo integrale definitorio in realtà non esiste. Infatti se deve valere 1 quando e zero altrove, questo significa che la funzione sotto integrando deve valere infinito per .

La delta di Dirac deve pertanto essere intesa nel senso di limite di una successione di funzioni che si stringono sempre più intorno a in modo che l'area totale sia sempre 1.

Per avere un esempio concreto, si consideri la funzione gaussiana:

il cui integrale è dato da (ponendo ):

Risulta evidente che il valore dell'integrale è indipendente dal parametro , per cui risulta verificato:

Risulta anche immediato verificare che:

e quindi per la definizione data sopra risulta proprio:

Si noti che quella della gaussiana è solo una delle tante rappresentazioni possibili della delta di Dirac. In effetti, data una funzione qualsiasi tale che e normalizzata tale che , allora il limite:

rappresenta una funzione delta.

Si consideri ora una generica funzione e l'integrale:

se la funzione è regolare nell'origine significa che si può espandere in serie di MacLaurin:

per cui l'integrale diviene:

ora, i termini in vanno a zero per :

per cui se è regolare nell'origine risulta effettivamente:

ovvero:

pertanto, per poter “utilizzare” una funzione delta sotto integrale, la funzione a cui è associata deve essere regolare nel punto in cui la delta si annulla.

La delta è una funzione pari e soddisfa la proprietà:

Si calcoli ora la trasformata di Fourier di una gaussiana.

È possibile completare l'esponente come un quadrato perfetto:

per cui la trasformata di Fourier diventa:

ponendo ora , da cui , l'integrale diventa:

per cui:

In conclusione, la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana, ma le loro larghezze sono inversamente proporzionali.

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