Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Denotiamo con una delle coordinate e con gli impulsi e lavoriamo nella rappresentazione delle coordinate.

Siccome gli operatori che rappresentano matematicamente una misura di posizione o di impulso sono lineari, la quantità rappresenta una misura di impulso lungo la coordinata seguita da una misura di posizione lungo la coordinata . Il valore medio di questa quantità è dato da:

analogamente:

si vede quindi che , in particolare:

essendo gli operatori lineari . Questo implica che gli operatori stessi devono soddisfare la relazione:

Introducendo il concetto di commutatore di due operatori, definito come , si trova:

La posizione e la quantità di moto sono descritti da operatori che non commutano: concretamente, questo significa che non è la stessa cosa misurare prima una grandezza e poi l'altra. L'ordine in cui sono effettuate le misure è importante.

Questa relazione si traduce nel cosiddetto principio di indeterminazione di Heisenberg.

Si consideri la quantità:

esplicitando il modulo si ricava:

il secondo pezzo fra parentesi quadre può essere integrato per parti:

Allo stesso modo, si integra per parti l'ultimo termine:

i termini per parti si annullano naturalmente perché le funzioni d'onda appartengono a . Si ottiene quindi:

Il termine rappresenta il valore medio di per definizione, perché le funzioni d'onda sono normalizzate. Per l'altro termine invece:

dove nell'ultimo passaggio il quadrato deve essere inteso nel senso di “operatore applicato due volte”. In definitiva si ha:

Questa relazione rappresenta una disequazione di secondo grado in , ovvero una parabola. Perché la disequazione sia soddisfatta deve accadere che non esistano radici reali, per cui il determinante deve essere minore di zero:

deve quindi risultare:

Ora, lo scarto quadratico medio è dato da e , per cui e . Se ci si mette nel sistema di riferimento in cui e sono zero, e notando che il valore dello scarto quadratico medio non dipende dal sistema di riferimento, si trova infine:

Questo principio, che va sotto il nome di principio di indeterminazione di Heisenberg, è fondamentale nella meccanica quantistica e stabilisce che non è possibile attribuire ad uno stato fisico contemporaneamente un valore preciso di posizione e quantità di moto. Il principio non deve essere interpretato in senso statistico, esso si riferisce infatti allo stesso sistema fisico. Si noti però che nel momento in cui si decide di fare una misura di posizione con precisione arbitraria e subito dopo una misura di momento con precisione arbitraria, si stanno di fatto compiendo due misure su due sistemi differenti, in quanto la prima misura di posizione perturba necessariamente il sistema in modo tale che al momento della seconda misura questo non sia più uguale al primo sistema. Il principio vieta invece di condurre una misura di posizione e quantità contemporaneamente e con precisione arbitraria. Il principio di indeterminazione sancisce quindi l'indeterminismo del comportamento degli enti appartenenti al mondo subatomico, che si sottraggono totalmente ai criteri della fisica classica.

Vale la pena di notare esplicitamente che il principio di indeterminazione di Heisenberg discende direttamente dal fatto che la posizione e la quantità di moto sono descritti da operatori che non commutano. Questo punto importante sarà approfondito in seguito.

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