Evoluzione classica dei valori medi

Si consideri il pacchetto d'onde generico di una particella libera:

$$\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (k)e^{i(kx-\omega t)}\;dk\qquad \qquad \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$$

$$\psi (x,t) = \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (k)e^{i(kx-\omega t)}\; dk \qquad \qquad \omega = \frac{\hbar k^2}{2m}$$

Il valore medio di $x$$x$ è dato da:

$$\langle x(t)\rangle ={\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{\ast }(x,t)x\psi (x,t)dx$$

$$\langle x(t) \rangle = \frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty } \psi ^\ast (x,t)x\psi (x,t)dx$$

Ora, la trasformata di Fourier della $\psi (x,t)$$\psi (x,t)$ è data da ${\mathcal {F}}[\psi (x,t)]=\varphi (k)e^{-i\omega t}$$\mathcal{F}[\psi (x,t)]=\varphi (k)e^{-i\omega t}$ e per il teorema di Parseval:

$$\langle x(t)\rangle ={\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k,t)dk={\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k)e^{-i\omega t}i\hbar {\frac {\partial }{\partial k}}\left[\varphi (k)e^{-i\omega t}\right]dk$$

$$\langle x(t) \rangle = \frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial k} \varphi (k,t)dk = \frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k)e^{-i\omega t}i\hbar \frac{\partial }{\partial k} \left[\varphi (k)e^{-i\omega t}\right]dk$$

la derivata fornisce:

$${\frac {\partial }{\partial k}}\left[\varphi (k)e^{-i\omega t}\right]={\frac {\partial \varphi (k)}{\partial k}}e^{-i\omega t}-it{\frac {\partial \omega }{\partial k}}\varphi (k)e^{-i\omega t}$$

$$\frac{\partial }{\partial k} \left[\varphi (k)e^{-i\omega t}\right] = \frac{\partial \varphi (k)}{\partial k} e^{-i\omega t} - it \frac{\partial \omega }{\partial k} \varphi (k)e^{-i\omega t}$$

che sostituita nell'espressione precedente permette di ricavare:

$$\langle x(t)\rangle =\varphi ^{\ast }(k)i\hbar {\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k)dk+{\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k){\frac {\hbar t}{m}}k\varphi (k)dk$$

$$\langle x(t) \rangle = \varphi ^\ast (k)i\hbar \frac{\partial }{\partial k} \varphi (k) dk + \frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k)\frac{\hbar t}{m}k\varphi (k) dk$$

ma:

$${\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k)i\hbar {\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k)dk=\left.\langle {\frac {\partial }{\partial p}}\rangle \right|_{t=0}$$

$$\frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k)i\hbar \frac{\partial }{\partial k} \varphi (k)dk = \left.\langle \frac{\partial }{\partial p} \rangle \right|_{t=0}$$

è il valore medio all'istante iniziale.

$${\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k){\frac {\hbar t}{m}}k\varphi (k)dk={\frac {t}{m}}\langle p\rangle$$

$$\frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k)\frac{\hbar t}{m}k\varphi (k)dk = \frac{t}{m}\langle p \rangle$$

inoltre:

$$\langle p\rangle =\hbar \langle k\rangle ={\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k)e^{i\omega t}k\varphi (k)e^{-i\omega t}dk$$

$$\langle p \rangle = \hbar \langle k \rangle = \frac{1}{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k)e^{i\omega t}k\varphi (k)e^{-i\omega t}dk$$

quindi $\langle p\rangle$$\langle p \rangle$ non dipende dal tempo. Per cui:

$$\langle x(t)\rangle =\langle x_{0}\rangle +{\frac {t}{m}}\langle p\rangle$$

$$\langle x(t) \rangle = \langle x_0 \rangle + \frac{t}{m}\langle p \rangle$$

ovvero il valore medio della posizione $\langle x\rangle$$\langle x \rangle$ di una particella libera quantistica ha la stessa evoluzione di una particella classica $x=x_{0}+tp/m=x_{0}+vt$$x=x_0+tp/m=x_0+vt$.

Si consideri ora l'evoluzione dello scarto quadratico medio $\langle x^{2}\rangle$$\langle x^2 \rangle$:

$$\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{\ast }(x,t)x^{2}\psi (x,t)dx={\frac {1}{N}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t)\left(i{\frac {\partial }{\partial k}}\right)^{2}\varphi (k,t)dk$$

$$\langle x^2 \rangle = \int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^\ast (x,t)x^2\psi (x,t)dx = \frac{1}{N} \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k,t)\left(i \frac{\partial }{\partial k} \right)^2\varphi (k,t)dk$$

Siccome risulta:

$${\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k,t)={\frac {\partial \varphi (k)}{\partial k}}e^{-i\omega t}-i{\frac {\hbar t}{m}}k\varphi (k)e^{i\omega t}$$

$$\frac{\partial }{\partial k} \varphi (k,t) = \frac{\partial \varphi (k)}{\partial k} e^{-i\omega t} - i\frac{\hbar t}{m}k\varphi (k)e^{i\omega t}$$

e

$${\frac {\partial ^{2}}{\partial k^{2}}}\varphi (k,t)={\frac {\partial ^{2}\varphi (k)}{\partial k^{2}}}e^{-i\omega t}-i{\frac {\hbar t}{m}}k{\frac {\partial \varphi (k)}{\partial k}}e^{-i\omega t}-i{\frac {\hbar t}{m}}{\frac {\partial }{\partial k}}[k\varphi (x)]e^{-i\omega t}-{\frac {\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}k^{2}\varphi (k)e^{-\omega t}$$

$$\frac{\partial ^2}{\partial k^2}\varphi (k,t) = \frac{\partial ^2 \varphi (k)}{\partial k^2}e^{-i\omega t} - i\frac{\hbar t}{m}k \frac{\partial \varphi (k)}{\partial k} e^{-i\omega t} - i\frac{\hbar t}{m} \frac{\partial }{\partial k} [k\varphi (x)]e^{-i\omega t} - \frac{\hbar ^2 t^2}{m^2}k^2\varphi (k)e^{-\omega t}$$

si ricava:

$${\begin{aligned}\langle x^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}\left[\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial k^{2}}}\varphi (k,t)dk+\right.\\-i{\frac {\hbar t}{m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t)\left\{k{\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k,t)+{\frac {\partial }{\partial k}}[k\varphi (k,t)]\right\}dk+\\\left.-{\frac {\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t)k^{2}\varphi (k,t)dk\right]\end{aligned}}$$

$$\begin{align} \langle x^2 \rangle = \frac{1}{N} \left[\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^\ast (k,t)\frac{\partial ^2}{\partial k^2}\varphi (k,t) dk + \right. \\ -i\frac{\hbar t}{m}\int _{-\infty }^{+\infty } \varphi ^\ast (k,t)\left\{ k \frac{\partial }{\partial k} \varphi (k,t)+ \frac{\partial }{\partial k} [k\varphi (k,t)]\right\} dk + \\ \left.-\frac{\hbar ^2t^2}{m^2}\int _{-\infty }^{+\infty } \varphi ^\ast (k,t) k^2 \varphi (k,t)dk\right] \end{align}$$

Il primo termine rappresenta il valore medio $\langle \partial ^{2}/\partial k^{2}\rangle$$\langle \partial ^2/\partial k^2 \rangle$, ovvero il valore medio di $x^{2}$$x^2$ a $t=0$$t=0$. Il secondo termine è lineare in $t$$t$, mentre nel terzo $\hbar ^{2}k^{2}=p^{2}$$\hbar ^2k^2=p^2$ e dunque rappresenta il valore medio $\langle p^{2}\rangle$$\langle p^2 \rangle$ ed è quadratico nel tempo. Risulta quindi:

$$\langle x^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle _{0}+\beta t+\langle p^{2}\rangle {\frac {t^{2}}{m^{2}}}$$

$$\langle x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle _0 + \beta t + \langle p^2 \rangle \frac{t^2}{m^2}$$

Lo scarto quadratico $(\Delta x)^{2}(t)=\langle x^{2}\rangle (t)-\langle x\rangle ^{2}(t)$$(\Delta x)^2(t)=\langle x^2 \rangle (t)-\langle x \rangle ^2(t)$ è allora dato da:

$$(\Delta x)^{2}(t)=\langle x^{2}\rangle _{0}-\langle x\rangle _{0}^{2}+\gamma t+t^{2}{\frac {\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}}{m^{2}}}$$

$$(\Delta x)^2(t) = \langle x^2 \rangle _0 - \langle x \rangle ^2_0 + \gamma t + t^2 \frac{\langle p^2 \rangle -\langle p \rangle ^2}{m^2}$$

Lo scarto $\Delta x$$\Delta x$ ha un andamento quadratico che tende a slargare il pacchetto se $\langle p^{2}\rangle \neq \langle p\rangle ^{2}$$\langle p^2 \rangle \ne \langle p \rangle ^2$: ma $\langle p^{2}\rangle$$\langle p^2 \rangle$ non può essere uguale a $\langle p\rangle ^{2}$$\langle p \rangle ^2$ perché questo equivale a conoscere $p$$p$ senza incertezze.

Si consideri ora il termine $\beta$$\beta$. Il valore di $x$$x$ è misurabile, dunque tale deve essere il suo scarto quadratico medio. Questo implica che il termine:

$$i{\frac {\hbar t}{m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{\ast }(k,t)\left\{k{\frac {\partial }{\partial k}}\varphi (k,t)+{\frac {\partial }{\partial k}}[k\varphi (k,t)]\right\}dk$$

$$i\frac{\hbar t}{m}\int _{-\infty }^{+\infty } \varphi ^\ast (k,t)\left\{ k \frac{\partial }{\partial k} \varphi (k,t)+ \frac{\partial }{\partial k} [k\varphi (k,t)]\right\} dk$$

deve essere reale. Questo termine rappresenta la quantità:

$${\frac {t}{m}}\langle {\hat {p}}{\hat {x}}+{\hat {x}}{\hat {p}}\rangle$$

$$\frac{t}{m}\langle \hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p} \rangle$$

e siccome i due operatori non commutano, risulta ${\hat {p}}{\hat {x}}\neq {\hat {x}}{\hat {p}}$$\hat{p}\hat{x}\ne \hat{x}\hat{p}$. Infatti, dalla relazione (Operatori Hermitiani e osservabili. L'apparato formale della teoria) si ha $({\hat {x}}{\hat {p}})^{\dagger }={\hat {p}}^{\dagger }{\hat {x}}^{\dagger }={\hat {p}}{\hat {x}}\neq {\hat {x}}{\hat {p}}$$(\hat{x}\hat{p})^{\dagger } =\hat{p}^{\dagger } \hat{x}^{\dagger } =\hat{p}\hat{x}\ne \hat{x}\hat{p}$: ne consegue che $\langle {\hat {x}}{\hat {p}}\rangle \in \mathbb {C}$$\langle \hat{x}\hat{p} \rangle \in \mathbb {C}$ perché ${\hat {x}}$$\hat{x}$ e ${\hat {p}}$$\hat{p}$ non commutano. Tuttavia, la combinazione:

$$({\hat {p}}{\hat {x}}+{\hat {x}}{\hat {p}})^{\dagger }=({\hat {x}}{\hat {p}})^{\dagger }+({\hat {p}}{\hat {x}})^{\dagger }={\hat {p}}{\hat {x}}+{\hat {x}}{\hat {p}}$$

$$(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p})^\dagger = (\hat{x}\hat{p})^\dagger + (\hat{p}\hat{x})^\dagger = \hat{p}\hat{x} + \hat{x}\hat{p}$$

coincide con l'operatore originario. Pertanto, la combinazione ${\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}$$\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}$ rappresenta un operatore hermitiano e quindi il termine:

$${\frac {t}{m}}\langle {\hat {p}}{\hat {x}}+{\hat {x}}{\hat {p}}\rangle$$

$$\frac{t}{m}\langle \hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p} \rangle$$

commuta ed ha valore medio reale.

Questo discorso conduce ad un importante concetto: a due grandezze fisiche che non commutano non si può associare solo il prodotto ${\hat {x}}{\hat {p}}$$\hat{x}\hat{p}$ o ${\hat {p}}{\hat {x}}$$\hat{p}\hat{x}$ in quanto i loro valori medi possono risultare complessi. Quando intervengono prodotti di operatori osservabili che non commutano, quindi, occorre usare una combinazione hermitiana, ad esempio simmetrizzando come visto sopra:

$$xp\rightarrow {\hat {x}}{\hat {p}}\rightarrow {\frac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}})$$

$$xp\rightarrow \hat{x}\hat{p} \rightarrow \frac{1}{2}(\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})$$