Evoluzione classica dei valori medi

Si consideri il pacchetto d'onde generico di una particella libera:

Il valore medio di è dato da:

Ora, la trasformata di Fourier della è data da e per il teorema di Parseval:

la derivata fornisce:

che sostituita nell'espressione precedente permette di ricavare:

ma:

è il valore medio all'istante iniziale.

inoltre:

quindi non dipende dal tempo. Per cui:

ovvero il valore medio della posizione di una particella libera quantistica ha la stessa evoluzione di una particella classica .

Si consideri ora l'evoluzione dello scarto quadratico medio :

Siccome risulta:

e

si ricava:

Il primo termine rappresenta il valore medio , ovvero il valore medio di a . Il secondo termine è lineare in , mentre nel terzo e dunque rappresenta il valore medio ed è quadratico nel tempo. Risulta quindi:

Lo scarto quadratico è allora dato da:

Lo scarto ha un andamento quadratico che tende a slargare il pacchetto se : ma non può essere uguale a perché questo equivale a conoscere senza incertezze.

Si consideri ora il termine . Il valore di è misurabile, dunque tale deve essere il suo scarto quadratico medio. Questo implica che il termine:

deve essere reale. Questo termine rappresenta la quantità:

e siccome i due operatori non commutano, risulta . Infatti, dalla relazione (Operatori Hermitiani e osservabili. L'apparato formale della teoria) si ha : ne consegue che perché e non commutano. Tuttavia, la combinazione:

coincide con l'operatore originario. Pertanto, la combinazione rappresenta un operatore hermitiano e quindi il termine:

commuta ed ha valore medio reale.

Questo discorso conduce ad un importante concetto: a due grandezze fisiche che non commutano non si può associare solo il prodotto o in quanto i loro valori medi possono risultare complessi. Quando intervengono prodotti di operatori osservabili che non commutano, quindi, occorre usare una combinazione hermitiana, ad esempio simmetrizzando come visto sopra:

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