Costanti del moto e evoluzione temporale

Un problema fondamentale della meccanica quantistica è quello delle costanti del moto.

Si consideri un generico osservabile :

ma dall'equazione di Schrödinger si ha:

per cui, se l'hamiltoniana è hermitiana :

ovvero:

e in definitiva l'importante relazione:

che è una relazione del tutto generale.[1]

La grandezza , generalmente, può dipendere dal tempo nel caso di un potenziale variabile nel tempo (come è il caso di una perturbazione). Se si suppone che sia , allora si ha:

ne consegue che l'equivalente in meccanica quantistica di un costante del moto è una condizione sui valori medi e sul commutatore:

ovvero le costanti del moto sono rappresentate dagli osservabili che commutano con l'Hamiltoniana.

Si consideri il caso particolare in cui . Segue:

e in maniera analoga:

che sono l'analogo quantistico delle equazioni di Hamilton. In realtà, esiste una differenza fondamentale: la presenza di una media fa in modo che nel caso – ad esempio – di un potenziale quartico non ci sia corrispondenza fra le due equazioni a causa della comparsa di termini e . In effetti, le equazioni quantistiche coincidono con le equazioni classiche solo fino al termine quadratico. Il sistema di equazioni:

prende il nome di teorema di Ehrenfest.

Se risulta , allora dalla si ricava , da cui:

ovvero per stati stazionari la situazione non evolve nel tempo, come d'altronde è ragionevole che sia.

Particolare interesse hanno quindi gli autostati dell'Hamiltoniana. Si consideri l'equazione di Schrödinger dinamica:

e se allora:

e si può dedurre:

Per un autostato di vale e:

Siccome vale:

l'equazione dinamica assume la forma:

ed essendo uguali le basi, devono essere uguali i coefficienti:

per cui l'evoluzione temporale di è espressa da:

L'unica cosa che cambia nel tempo sono dunque i fattori di fase relativi. Formalmente, la relazione di sopra può scriversi come segue:

dove ora il fattore è in comune a tutti termini:

Da notare che questo fattore è pur sempre un operatore, quindi fornisce un risultato diverso per ogni termine su cui agisce. Formalmente, si ha quindi in questo caso:

Questo modo di descrivere l'evoluzione temporale del vettore di stato è chiamato rappresentazione di Schrödinger e sarà ripreso più avanti nel contesto della Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo


  1. Si noti la corrispondenza con il formalismo Hamiltoniano classico:
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