Lo spin

L'esperimento di Stern-Gerlach è già stato descritto in precedenza. [1] Come anticipato in quella sede, il risultato davvero sorprendente si ebbe quando fu utilizzato lo stato fondamentale dell'atomo di idrogeno, con .[2] Questi atomi non hanno momento angolare orbitale, di conseguenza nessuna corrente orbitale e pertanto non si dovrebbe osservare alcuna deviazione in un apparato alla Stern e Gerlach.

L'esperimento mostra invece un fascio diviso in due. L'interpretazione di questo risultato e' altamente problematica, perche' secondo la teoria quantistica, nello stato si deve osservare un solo fascio e anche nel primo stato eccitato, con , si dovrebbero osservare tre fasci. L'esistenza di due fasci con la stessa intensita' risulta quindi inspiegabile con le leggi della meccanica quantistica illustrate finora.

La soluzione di questo problema fu proposta da due studenti, Goudsmit e Uhlenbeck. Essi suggerirono "semplicemente" che l'elettrone stesso avesse un "momento angolare intrinseco", che chiamarono "'spin"'. In questo approccio, Goudsmit e Uhlenbeck immaginarono che l'elettrone ruotasse su se' stesso, in analogia al moto di rotazione dei pianeti. Assumendo che il momento angolare associato all'elettrone valga , in base alle leggi di quantizzazione del momento angolare si trova che i soli valori possibili per la componente sono e , perche' come visto la componente del momento angolare puo' variare solo per valori interi di .

Si notera' che questo e' in realta' un argomento imposto "ad hoc". La ragione fondamentale per cui la componente del momento angolare puo' variare solo per unita'e' legata al fatto che le funzioni d'onda angolari devono raccordarsi in fase dopo un giro di . Ora si trova una funzione d'onda che deve contenere un fattore , il quale dopo un giro completo di vale -1. Detto in termini pittorici, significa che dopo un giro completo un elettrone non mostra la stessa "faccia", ma che occorrono due giri affinche' si presenti come all'inizio.

Difficolta' maggiori sorgono qualora si cerchi di costruire un modello che tenga conto del fatto che l'elettrone ruota. In linea di principio, una sfera carica che ruota crea delle correnti e non presenta problemi particolari. Tuttavia, una volta applicato questo modello all'elettrone si scopre che le regioni equatoriali dovrebbero ruotare a velocita' superiori a quelle della luce per generare il momento angolare osservato.

Queste difficolta' sono tutt'altro che banali ed in effetti furono risolte intorno al 1930 da P.A.M. Dirac, il quale mostro' che impostando la teoria quantistica in maniera relativisticamente invariante, sia lo spin dell'elettrone sia le "matrici di spin" -- che Pauli dovette introdurre a mano per poter trattare il momento magnetico intrinseco dell'elettrone -- emergono in maniera naturale e spontanea. Come detto nella nota a pagina , la teoria di Dirac e' tuttavia completamente al di la' di questo corso.

Vale la pena notare che la questione dello spin e' peroo' molto importante, infatti e' grazie ad esso che si riescono a spiegare le proprieta' della tavola periodica degli elementi, ma anche questo e' oggetto di corsi piu' approfonditi.



Si passera' quindi ora a delineare un approccio formale al problema dello spin, seguendo la strada delle matrici di Pauli.

Per via sperimentale si sa che il momento intrinseco dell'elettrone si comporta come un momento angolare e vale , . Ne consegue che gli autovalori dell'operatore di spin devono essere:

Siccome e' fissato, e' sufficiente riferirsi alla sola componente , si parla quindi di stati con spin o spin . Questo significa che per descivere completamente lo stato di un elettrone non e' sufficiente fornire la sua funziona d'onda, ma occorre specificare anche il valore di un grado di liberta' aggiuntivo che e' stato chiamato appunto "spin".

Lo stato di un elettrone risulta quindi completamente descritto se in ogni punto dello spazio si aggiungono due ampiezze di probabilita' che definiscono lo stato dello spin. In pratica, la funzione d'onda di un elettrone deve avere una forma del tipo:

dove e indicano rispettivamente la probabilita' di trovare l'elettrone nella posizione con spin "su" () o spin "giu'" ().

Siccome sono possibili solo due stati di spin, questo puo' essere descritto da uno spazio vettoriale a due dimensioni la cui base e' quindi composta da due vettori. In questo contesto, la funzione d'onda di un elettrone puo' essere indicata come un vettore a due componenti:

Lo spazio degli stati di un elettrone e' quindi rappresentato dal prodotto tensoriale , ovvero dello spazio studiato finora e dello spazio a due dimensioni dello spin. Il prodotto scalare in questo spazio e' definito dalla relazione:
Gli operatori di spin commutano evidentemente con tutti gli operatori di (posizione, impulso, energia, ecc.), in quanto relativi a due spazi vettoriali diversi.

Una funzione d'onda scritta in termini di un vettore a due componenti prende il nome di "'spinore"'.[3] In particolare, fissata una base ortonormale e in questo spazio bidimensionale, ad esempio lungo la direzione , la parte di spin della funzione d'onda risulta espressa dalla combinazione lineare:

dove i coefficienti dello sviluppo possono dipendere dal vettore posizione . In questo caso la probabilita' di misurare un determinato spin dipende dalla posizione della particella.

La base ortonormale scelta e e' costituita evidentemente da due autovettori, deve quindi risultare:

I due autovettori relativi a valori di spin diversi sono evidentemente ortonormali, per cui risulta anche:

Da queste relazioni discende immediatamente che la rappresentazione matriciale dell'operatore e' estremamente semplice:

Ora, e' stato detto sopra che questo grado di liberta' aggiuntivo dell'elettrone si comporta a tutti gli effetti come un momento angolare. Risulta quindi naturale ricalcarne in qualche modo il formalismo, e in particolare introdurre gli analoghi degli operatori gradino. Questi operatori agiranno quindi nel seguente modo sugli autovettori dello spazio di spin :

ovvero, in termini di rappresentazione matriciale:

In analogia al momento angolare, se si suppone che valgano le relazioni:

si puo' ricavare la forma esplicita degli operatori e :
"Le tre matrici , e sono le cosiddette "'matrici di Pauli""'.

Le regole di commutazione di queste matrici sono facilmente trovate:

da cui:
Se si effettua il calcolo per tutte le altre combinazioni si ricava la regola generale di commutazione per le matrici di Pauli:
Queste matrici sono inoltre unitarie in quanto e, come si puo' vedere direttamente dalla , soddisfano la relazione con , ovvero la proprieta' di anticommutazione:
Queste matrici insieme alla matrice identita' costituiscono una base nello spazio delle matrici . Sinteticamente, si dice che queste matrici soddisfano un'algebra di Clifford, una struttura che generalizza i numeri complessi e i quaternioni:

Tenendo infine conto della relazione si ricavano le regole di commutazione degli operatori di spin:

ovvero soddisfano le relazioni di commutazione del momento angolare. Questo non deve sorprendere e non deve trarre in inganno, perche' nelle ipotesi iniziali si era immesso "a mano" proprio il fatto che lo spin si comportasse come un momento angolare quantistico. Questa relazione, quindi, puo' al massimo confermare che l'apparato formale dello spin costruito qui e' coerente con queste premesse.

  1. Si puo' consultare sull'argomento l'eccellente articolo al sito: "http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Angular_Momentum/Angular_Momentum.html".
  2. Phipps and Taylor, "Phys. Rev.""'29"', 309.
  3. Per questa definizione occorre in realta' anche che le due componenti trasformino tra loro per rotazioni, ma questo e' il caso come sara' mostrato fra breve.
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