Il momento angolare in meccanica quantistica

Come è noto, il momento angolare ha una stretta relazione con le rotazioni. Classicamente, esso è definito come:

si tratta quindi propriamente di uno pseudovettore.

Esplicitando le componenti, si ha:

ovvero in maniera più concisa:

A queste quantità si può associare un operatore hermitiano, ad esempio :

Questo operatore è evidentemente hermitiano, in quanto compaiono sempre prodotti lungo direzioni diverse e pertanto commutano:

Per potere effettuare però misure contemporanee delle varie componenti del momento angolare occorre che queste commutino fra loro, condizione che non è soddisfatta. Si prenda infatti la componente lungo : e si consideri il commutatore con , tenendo conto che e commutano:

Ne consegue quindi:
Lo stesso calcolo può essere ripetuto per tutte le componenti, ottenendo la relazione:

Questa relazione fondamentale dice che le componenti del momento angolare non commutano fra loro e pertanto non hanno una base comune di autovettori. Il momento angolare ha le dimensioni di . Queste regole di commutazione hanno un analogo in meccanica classica:

Naturalmente, in meccanica classica il fatto che le parentesi di Poisson siano non nulle non implica la non misurabilità contemporanea delle componenti del momento angolare, ma solo che non se ne può scegliere più di una componente nel ruolo di variabile canonica. È interessante comunque sottolineare l'analogia fra variabili canoniche classiche e osservabili simultanei.

In generale, se il commutatore risulta nullo su uno stato, allora le componenti relative del momento angolare sono misurabili contemporaneamente, altrimenti no. La regola di commutazione pregiudica solo l'esistenza di una base di autovettori comune.

Si consideri ora ( sono i versori lungo la direzione ):

ne segue allora che:
Ora, , ma il termine nel suo complesso è simmetrico, pertanto moltiplicato per la quantità antisimmetrica fornisce zero. Risulta quindi:

Il modulo quadro del momento angolare commuta con una sua componente, possono quindi essere misurati contemporaneamente ed esiste una base di autovettori in comune. Ha senso quindi ricercare la soluzione del problema:


CASO DI PIU' PARTICELLE.


Nel caso il sistema sia composto da più particelle risulta:

siccome i diversi momenti angolari commutano fra loro, per la risultante si può fare lo stesso discorso delle singole componenti:
e siccome vale sempre segue anche che , pertanto si può impostare lo stesso problema agli autovalori, che fornirà lo stesso risultato riferito al vettore momento angolare totale.

Ne consegue che tutte le proprietà che saranno studiate in questo capitolo si possono applicare ugualmente bene al momento angolare totale di un sistema.

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