Il momento angolare come generatore infinitesimo delle rotazioni

Si consideri una rotazione infinitesima di un angolo intorno all'asse . Come e' noto, le leggi di trasformazione di una generica rotazione intorno all'asse sono date da:

ovvero in forma matriciale:
Le matrici per le altre due rotazioni, intorno all'asse e , sono date rispettivamente da:

Si supponga ora che uno stato sia descritto dalla funzione d'onda . Una rotazione infinitesima di un angolo intorno all'asse puo' essere espressa nella forma seguente:[1]

ma ricordando la forma dell'operatore , si ricava che:
per cui:

Un modo alternativo per mostrare questa relazione e' il seguente. Si consideri la funzione d'onda . Una generica rotazione intorno all'asse , descritta dall'operatore matrice , fornisce:

Una rotazione infinitesima di un angolo intorno allo stesso asse puo' essere pertanto espressa come:[2]

ma

e' proprio la componente lungo del momento angolare.

In definitiva, l'operatore di rotazione infinitesima intorno a e' dato da:

la componente i-sima del momento angolare e' quindi il generatore infinitesimo delle rotazioni intorno all'asse .

Una rotazione finita puo' essere ottenuta come una serie di (al limite: infinite) rotazioni infinitesime in sequenza. La rotazione di un angolo finito puo' quindi essere ottenuta come . In sostanza quindi una rotazione finita di un angolo si puo' scrivere come un limite sulle rotazioni infinitesime:

ne consegue che l'operatore e' il generatore delle rotazioni finite.

Effettivamente, si puo' anche dimostrare che le rotazioni soddisfano le stesse regole di commutazione del momento angolare. Si considerino ad esempio le due matrici di rotazione intorno agli assi e date in . Siccome si considerano rotazioni infinitesime, si possono sviluppare queste matrici arrestandosi al secondo ordine:

da cui, tenendo conto solo dei termini fino a e trascuranto di termini :
per cui risulta:
e tenendo presente che la matrice di rotazione intorno all'asse approssimata al primo ordine in fornisce:
si ricava:

Se si associano quindi degli operatori di rotazione infinitesima fatti come:

risulta:

  1. Si tratta di una banale espansione in serie di Taylor sulla variabile .
  2. Essendo una rotazione infinitesima e .
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