Gli operatori gradino L+ e L-

Si seguira' ora un percorso analogo a quanto fatto per l'oscillatore armonico per definire precisamente lo spettro degli operatori momento angolare. Si considerino quindi gli operatori:

$${\begin{cases}L_{+}&=l_{x}+il_{y}\\[2ex]L_{-}&=l_{x}-il_{y}\end{cases}}\Rightarrow L_{-}=L_{+}^{\dagger }$$

$${\begin{cases}L_{+}&=l_{x}+il_{y}\\[2ex]L_{-}&=l_{x}-il_{y}\end{cases}}\Rightarrow L_{-}=L_{+}^{\dagger }$$

Entrambi questi operatori commutano con $l^{2}$$l^{2}$, infatti $l^{2}$$l^{2}$ commuta con ciascuna componente. Quindi se agiscono su una autofunzione non ne cambiano l'autovalore:

$$l^{2}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=L_{+}l^{2}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=l(l+1)\hbar ^{2}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )$$

$$l^{2}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=L_{+}l^{2}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=l(l+1)\hbar ^{2}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )$$

in termini formali, $L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )$$L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )$ appartiene allo stesso sottospazio di di $L^{2}$$L^2$. $L_{+}$$L_{+}$ invece non commuta con $l_{z}$$l_{z}$:

$$[l_{z},L_{+}]=[l_{z},l_{x}+il_{y}]=i\hbar l_{y}+\hbar l_{x}=\hbar \left(l_{x}+il_{y}\right)=\hbar L_{+}$$

$$[l_{z},L_{+}]=[l_{z},l_{x}+il_{y}]=i\hbar l_{y}+\hbar l_{x}=\hbar \left(l_{x}+il_{y}\right)=\hbar L_{+}$$

Quindi risulta:

$${\begin{cases}[l_{z},L_{+}]&=\hbar L_{+}\\[2ex][l_{z},L_{-}]&=-\hbar L_{y}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}[l_{z},L_{+}]&=\hbar L_{+}\\[2ex][l_{z},L_{-}]&=-\hbar L_{y}\end{cases}}$$

Quello che e' interessante e' il comportamento di questi operatori su un'autofunzione di $l_{z}$$l_{z}$:

$${\begin{aligned}l_{z}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )&=\left(l_{z}L_{+}-L_{+}l_{z}+L_{+}l_{z}\right)\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=[l_{z},L_{+}]\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+L_{+}l_{z}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=\hbar L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+m\hbar L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=(m+1)\hbar \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}l_{z}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )&=\left(l_{z}L_{+}-L_{+}l_{z}+L_{+}l_{z}\right)\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=[l_{z},L_{+}]\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+L_{+}l_{z}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=\hbar L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+m\hbar L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=(m+1)\hbar \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\end{aligned}}$$

cioel'operatore $L_{+}$$L_{+}$ agendo su un autostato di $l_{z}$$l_{z}$ di autovalore $m$$m$ restituisce l'autostato di $l_{z}$$l_{z}$ di autovalore $(m+1)$$(m+1)$. Ne consegue anche che se $m$$m$e' autovalore, anche $(m+1)$$(m+1)$e' autovalore.

In maniera del tutto analoga si trova:

$${\begin{aligned}l_{z}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )&=\left(l_{z}L_{-}-L_{-}l_{z}+L_{-}l_{z}\right)\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=[l_{z},L_{-}]\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+L_{-}l_{z}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=-\hbar L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+m\hbar L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=(m-1)\hbar \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}l_{z}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )&=\left(l_{z}L_{-}-L_{-}l_{z}+L_{-}l_{z}\right)\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=[l_{z},L_{-}]\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+L_{-}l_{z}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=-\hbar L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )+m\hbar L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\\&=(m-1)\hbar \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\end{aligned}}$$

e quindi l'operatore $L_{-}$$L_{-}$ agendo su un autostato di $l_{z}$$l_{z}$ di autovalore $m$$m$ restituisce l'autostato di $l_{z}$$l_{z}$ di autovalore $(m-1)$$(m-1)$. Ne consegue anche che se $m$$m$e' autovalore, anche $(m-1)$$(m-1)$e' autovalore.

Questo particolare comportamento degli operatori $L_{+}$$L_{+}$ e $L_{-}$$L_{-}$ giustifica il loro nome di operatori gradino. Come anticipato all'inizio di questo paragrafo, e' facile verificare guardando direttamente la forma di questi operatori che questi non sono hermitiani ma che l'uno e' l'aggiunto dell'altro. La loro combinazione e' invece autoaggiunta, infatti:

$${\begin{aligned}L_{-}L_{+}&=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+i(l_{x}l_{y}-l_{y}l_{x})=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-\hbar l_{z}=l^{2}-\hbar l_{z}-l_{z}^{2}\\L_{+}L_{-}&=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-i(l_{x}l_{y}-l_{y}l_{x})=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+\hbar l_{z}=l^{2}+\hbar l_{z}-l_{z}^{2}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}L_{-}L_{+}&=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+i(l_{x}l_{y}-l_{y}l_{x})=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-\hbar l_{z}=l^{2}-\hbar l_{z}-l_{z}^{2}\\L_{+}L_{-}&=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-i(l_{x}l_{y}-l_{y}l_{x})=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+\hbar l_{z}=l^{2}+\hbar l_{z}-l_{z}^{2}\end{aligned}}$$

Siccome queste due combinazioni sono autoaggiunte, e supponendo di lavorare con autofunzioni normalizzate, deve risultare:

$${\begin{aligned}\langle L_{-}L_{+}\rangle =\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid L_{-}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\lVert L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rVert \geq 0\\\langle L_{+}L_{-}\rangle =\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid L_{+}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\lVert L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rVert \geq 0\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\langle L_{-}L_{+}\rangle =\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid L_{-}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\lVert L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rVert \geq 0\\\langle L_{+}L_{-}\rangle =\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid L_{+}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\lVert L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rVert \geq 0\\\end{aligned}}$$

ma $L_{-}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}[l(l+1)-m-m^{2}]$$L_{-}L_{+}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}[l(l+1)-m-m^{2}]$ e $L_{+}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}[l(l+1)+m-m^{2}]$$L_{+}L_{-}\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}[l(l+1)+m-m^{2}]$ per cui, tenendo conto che $l>0$$l>0$, si arriva alle importanti relazioni:

$${\begin{cases}l(l+1)\geq m(m+1)\qquad m>0\\l(l+1)\geq m(m-1)\qquad m<0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}l(l+1)\geq m(m+1)\qquad m>0\\l(l+1)\geq m(m-1)\qquad m<0\end{cases}}$$

ora, nel caso di $m$$m$ negativo, risulta $m(m-1)\rightarrow -m(-m+1)=|m|(|m|+1)$$m(m-1)\rightarrow -m(-m+1)=|m|(|m|+1)$, per cui le relazioni precedenti si possono riassumere nell'unica:

$$l(l+1)\geq |m|(|m|+1)\qquad \Rightarrow \qquad |m|\leq l$$

$$l(l+1)\geq |m|(|m|+1)\qquad \Rightarrow \qquad |m|\leq l$$

Di conseguenza, il valore di $m$$m$ deve essere limitato in alto e in basso. In altri termini, il processo di innalzamento e abbassamento dell'autovalore $m$$m$ non puo' continuare indefinitamente e devono esistere due particolari valori $m_{+}$$m_{+}$ e $m_{-}$$m_{-}$ per i quali risulta:

$${\begin{aligned}\exists \quad \psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )&\colon L_{+}\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=0\\\exists \quad \psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )&\colon L_{-}\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\exists \quad \psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )&\colon L_{+}\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=0\\\exists \quad \psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )&\colon L_{-}\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=0\end{aligned}}$$

Essendo possibile agire con l'operatore $L_{+}$$L_{+}$ sullo stato $\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )$$\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )$ fino a raggiungere lo stato $\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )$$\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )$ sul quale fornisce zero, si ricava banalmente che:

$$m_{+}=m_{-}+n\qquad n\in \mathbb {N} _{0}$$

$$m_{+}=m_{-}+n\qquad n\in \mathbb {N} _{0}$$

Dalle posizioni si ricava anche banalmente:

$${\begin{aligned}l^{2}&=-\hbar L_{-}L_{+}+l_{z}-l_{z}^{2}\\l^{2}&=\hbar L_{+}L_{-}+l_{z}-l_{z}^{2}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}l^{2}&=-\hbar L_{-}L_{+}+l_{z}-l_{z}^{2}\\l^{2}&=\hbar L_{+}L_{-}+l_{z}-l_{z}^{2}\\\end{aligned}}$$

applicando quindi la prima di queste all'autostato del momento angolare relativo all'autovalore $m_{+}$$m_{+}$ si ottiene:

$$l^{2}\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=(L_{-}L_{+}+l_{z}-l_{z}^{2})\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}m_{+}(m_{+}+1)$$

$$l^{2}\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=(L_{-}L_{+}+l_{z}-l_{z}^{2})\psi _{lm_{+}}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}m_{+}(m_{+}+1)$$

e la seconda all'autostato relativo all'autovalore $m_{-}$$m_{-}$:

$$l^{2}\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=(L_{+}L_{-}+l_{z}-l_{z}^{2})\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}m_{-}(m_{-}-1)$$

$$l^{2}\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=(L_{+}L_{-}+l_{z}-l_{z}^{2})\psi _{lm_{-}}(r,\theta ,\phi )=\hbar ^{2}m_{-}(m_{-}-1)$$

siccome l'autovalore di $l^{2}$$l^{2}$e'$l(l+1)$$l(l+1)$, dalle relazioni precedenti si ricavano le condizioni:

$${\begin{cases}l&=m_{+}\\l&=-m_{+}-1\end{cases}}\qquad {\text{oppure}}\qquad {\begin{cases}l&=-m_{-}\\l&=m_{-}-1\end{cases}}$$

$${\begin{cases}l&=m_{+}\\l&=-m_{+}-1\end{cases}}\qquad {\text{oppure}}\qquad {\begin{cases}l&=-m_{-}\\l&=m_{-}-1\end{cases}}$$

e siccome per definizione $m_{+}\geq m_{-}$$m_{+}\geq m_{-}$, l'unica scelta consistente con le due condizioni e' porre:

$$l=m_{+}=-m_{-}\geq 0$$

$$l=m_{+}=-m_{-}\geq 0$$

questa relazione unita alla precedente su $m_{+}$$m_{+}$ permette di ricavare l'altra relazione fondamentale:

$$2m_{+}=n\rightarrow m_{+}={\frac {n}{2}}=l\qquad n\in \mathbb {N} _{0}$$

$$2m_{+}=n\rightarrow m_{+}={\frac {n}{2}}=l\qquad n\in \mathbb {N} _{0}$$

e siccome ogni valore di $m$$m$ differisce per un intero da $m_{+}=-m_{-}=l$$m_{+}=-m_{-}=l$, si ricava anche che:

$$2m\in \mathbb {Z}$$

$$2m\in \mathbb {Z}$$

Infine, siccome si e' visto che vale:

$$-{\frac {n}{2}}\leq m\leq {\frac {n}{2}}$$

$$-{\frac {n}{2}}\leq m\leq {\frac {n}{2}}$$

risulta anche che il momento angolare $l$$l$ puo' assumere valori interi o seminteri e la degenerazione della componente $m$$m$ del momento angolare rispetto a $l$$l$ vale $2l+1$$2l+1$.

In realta', i valori seminteri del momento angolare sono esclusi da considerazioni di carattere fisico-matematico. Se il valore $l=1/2$$l=1/2$ fosse possibile, allora si avrebbe:

$$\psi _{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{i{\frac {\phi }{2}}}$$

$$\psi _{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{i{\frac {\phi }{2}}}$$

Dalla forma di $L_{-}$$L_{-}$ in coordinate sferiche:

$$L_{-}=-\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

$$L_{-}=-\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

si ricava che:

$$L_{-}\psi _{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\frac {\hbar }{2}}\cot \theta {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}$$

$$L_{-}\psi _{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\frac {\hbar }{2}}\cot \theta {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}$$

che non e' proporzionale a $\psi _{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )$$\psi _{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )$, che invece e' dato da:

$$\psi _{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}$$

$$\psi _{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )\propto {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{-i{\frac {\phi }{2}}}$$

la funzione $\cot \theta {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{i{\frac {\phi }{2}}}$$\cot \theta {\sqrt {\sin \theta }}\;e^{i{\frac {\phi }{2}}}$ cos\i' ricavata inoltre non appartiene a ${\mathcal {L}}^{2}$$\mathcal{L}^2$ secondo la misura $\sin \theta d\theta d\phi$$\sin \theta d\theta d\phi$, ne consegue che i valori seminteri di $l$$l$ non sono accettabili.

La questione puo' essere vista sotto un altro aspetto notando che l'operatore differenziale che agisce sulle funzioni deve essere ad un solo valore ed hermitiano: e questo esclude appunto la possibilita' di valori di $l$$l$ seminteri. D'altronde, una volta effettuata una rotazione di $2\pi$$2\pi$ intorno all'asse $z$$z$ la funzione d'onda deve raccordarsi in fase e pertanto puo' variare solo per numeri interi.

L'utilita' degli operatori gradino si rivela in pieno nel calcolare determinate quantita'. Ad esempio, in termini di questi operatori il valore medio di $l_{x}$$l_{x}$e' dato da:

$${\begin{aligned}\langle l_{x}\rangle &={\frac {1}{2}}\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid (L_{+}+L_{-})\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\\&=\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid \psi _{l,m+1}(r,\theta ,\phi )\rangle +\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid \psi _{l,m-1}(r,\theta ,\phi )\rangle =0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\langle l_{x}\rangle &={\frac {1}{2}}\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid (L_{+}+L_{-})\psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\rangle =\\&=\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid \psi _{l,m+1}(r,\theta ,\phi )\rangle +\langle \psi _{lm}(r,\theta ,\phi )\mid \psi _{l,m-1}(r,\theta ,\phi )\rangle =0\end{aligned}}$$

data l'ortogonalita' delle autofunzioni del momento angolare. In maniera perfettamente analoga si dimostra che $\langle l_{y}\rangle =0$$\langle l_{y}\rangle =0$. Per quanto riguarda invece i valori medi di $\langle l_{x}^{2}\rangle$$\langle l_{x}^{2}\rangle$ e $\langle l_{y}^{2}\rangle$$\langle l_{y}^{2}\rangle$, ricordando la definizione di operatorio gradino , si ricava:

$$l_{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left(L_{+}^{2}+L_{-}^{2}+L_{+}L_{-}+L_{+}L_{-}\right)\qquad l_{y}^{2}=-{\frac {1}{2i}}\left(L_{+}^{2}+L_{-}^{2}-L_{+}L_{-}-L_{+}L_{-}\right)$$

$$l_{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left(L_{+}^{2}+L_{-}^{2}+L_{+}L_{-}+L_{+}L_{-}\right)\qquad l_{y}^{2}=-{\frac {1}{2i}}\left(L_{+}^{2}+L_{-}^{2}-L_{+}L_{-}-L_{+}L_{-}\right)$$

tenendo conto che $\langle L_{+}^{2}\rangle =\langle L_{-}^{2}\rangle =0$$\langle L_{+}^{2}\rangle =\langle L_{-}^{2}\rangle =0$, si ricava:

$$\langle l_{x}^{2}\rangle =\langle l_{y}^{2}\rangle ={\frac {1}{4}}\langle L_{+}L_{-}-L_{+}L_{-}\rangle$$

$$\langle l_{x}^{2}\rangle =\langle l_{y}^{2}\rangle ={\frac {1}{4}}\langle L_{+}L_{-}-L_{+}L_{-}\rangle$$

A partire da questi risultati, si ricava che:

$$\langle l^{2}\rangle =\langle l_{x}^{2}\rangle +\langle l_{y}^{2}\rangle +\langle l_{z}^{2}\rangle =2\langle l_{x}^{2}\rangle +\langle l_{z}^{2}\rangle$$

$$\langle l^{2}\rangle =\langle l_{x}^{2}\rangle +\langle l_{y}^{2}\rangle +\langle l_{z}^{2}\rangle =2\langle l_{x}^{2}\rangle +\langle l_{z}^{2}\rangle$$

da cui discende immediatamente che:

$$\langle l_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}\left[\langle l^{2}\rangle -\langle l_{z}^{2}\rangle \right]={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left[l(l+1)-m^{2}\right]$$

$$\langle l_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}\left[\langle l^{2}\rangle -\langle l_{z}^{2}\rangle \right]={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left[l(l+1)-m^{2}\right]$$

e risulta sempre diverso da zero tranne che nel caso $l=0$$l=0$.

Gli operatori gradino permettono anche di ricavare esplicitamente gli autostati relativi agli autovalori $|m|=l$$|m|=l$ in maniera semplice. In base alle leggi di trasformazione delle coordinate polari:

$${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$$

$${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$$

ed alla regola di trasformazione:

$${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}={\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\partial \theta }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$$

$${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}={\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\partial \theta }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$$

si ricava la forma esplicita degli operatori componenti del momento angolare:

$${\begin{aligned}l_{x}&=i\hbar \left(\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\l_{y}&=i\hbar \left(-\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\l_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}l_{x}&=i\hbar \left(\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\l_{y}&=i\hbar \left(-\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\l_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$$

in particolare, dalla forma di $l_{x}$$l_{x}$ e $l_{y}$$l_{y}$ e ricordando la formula di Eulero si ricava:

$$L_{+}=l_{x}+il_{y}=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

$$L_{+}=l_{x}+il_{y}=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

e per l'autostato della parte angolare $\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=\chi (\theta )e^{il\phi }$$\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=\chi (\theta )e^{il\phi }$ vale:

$$L_{+}\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=\hbar e^{i(l+1)\phi }\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\chi (\theta )-l\cot \theta \chi (\theta )\right]=0$$

$$L_{+}\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=\hbar e^{i(l+1)\phi }\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\chi (\theta )-l\cot \theta \chi (\theta )\right]=0$$

ovvero:

$${\frac {\partial }{\partial \theta }}\chi (\theta )=l\cot \theta \chi (\theta )\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\chi (\theta )}{\chi (\theta )}}=l\cot \theta d\theta$$

$${\frac {\partial }{\partial \theta }}\chi (\theta )=l\cot \theta \chi (\theta )\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\chi (\theta )}{\chi (\theta )}}=l\cot \theta d\theta$$

che ha per soluzione $\chi (\theta )=(\sin \theta )^{l}$$\chi (\theta )=(\sin \theta )^{l}$, quindi:

$$\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=N(\sin \theta )^{l}e^{il\phi }=Y_{l}^{l}(\theta ,\phi )$$

$$\chi _{l,l}(\theta ,\phi )=N(\sin \theta )^{l}e^{il\phi }=Y_{l}^{l}(\theta ,\phi )$$

e in maniera del tutto analoga:

$$\chi _{l,-l}(\theta ,\phi )=N(\sin \theta )^{l}e^{-il\phi }=Y_{l}^{-l}(\theta ,\phi )$$

$$\chi _{l,-l}(\theta ,\phi )=N(\sin \theta )^{l}e^{-il\phi }=Y_{l}^{-l}(\theta ,\phi )$$