Autofunzioni di l^2 e lz: le armoniche sferiche

Consideriamo quindi il problema impostato alla fine del paragrafo precedente:

Nel seguito di questo paragrafo sara' generalmente omessa la notazione di operatore , inoltre sara' scelta come componente del momento angolare quella lungo , essenzialmente per ragioni storiche. Infine, gli autovalori saranno resi numeri puri introducendo il fattore :

L'operatore momento angolare e' dato da:

e in coordinate polari risulta:
ne consegue che il momento angolare in coordinate polari e' espresso da:
siccome poi risulta , vale ():

Analogamente, , e usando lo stesso procedimento utilizzato per ricavare

si trova:[1]

perche' a differenza di quella cartesiana, la base sferica ha i versori che dipendono dal punto considerato. Questa forma puo' essere riscritta come:
e rappresenta quindi l'equazione agli autovalori per il quadrato del momento angolare.

Si consideri ora l'equazione relativa alla componente . Si noti preliminarmente che essendo possibile trovare delle autofunzioni comuni a e , allora queste autofunzioni sono fattorizzabili come (ci si occupa per il momento solo della forma di questa soluzione e non della sua normalizzazione) :

questa equazione ammette in linea di principio soluzioni per ogni , tuttavia la richiesta che la soluzione abbia senso fisicamente porta a limitarne i possibili valori. In particolare, la richiesta che l'operatore sia un osservabile, ovvero hermitiano, conduce alla condizione:
ovvero, esplicitando il prodotto scalare:
affinche' l'operatore sia hermitiano deve quindi risultare:
e quindi:
ovvero, le funzioni devono essere periodiche con periodo . Volendo essere precisi al massimo, si noti che non e' la da sola che deve essere osservabile, ma il prodotto fattorizzato. Di conseguenza potrebbe in linea di principio avere valori seminteri, questo caso e' pero' comunque escluso nel momento in cui si richiede che l'operatore sia ben definito. Questo implica che:

Si consideri ora la relazione che esprime il quadrato del momento angolare in termini delle coordinate polari. Effettuando la sostituzione:

tenendo conto inoltre che , questa equazione diviene:
Per il teorema di Poincare', che stabilisce che le soluzioni hanno una singolarita' nei punti in cui i coefficienti si annullano o hanno singolarita', si devono escludere i punti . Ponendo quindi (il teorema di Fuchs garantisce che questa posizione sia lecita) :
si trova per :
siccome si sono esclusi i punti di discontinuita' e quelli dove si annullano i coefficienti, la relazione di sopra diventa:

Ora, si puo' certamente trovare una soluzione nella forma di una serie di potenze, per cui ponendo:

e sostituendo (con la posizione ):
e svolgendo i prodotti che coinvolgono le :
I coefficienti di devono essere nulli per e , per cui:
per cui:
infatti, la derivata seconda fa sparire i primi due termini dello sviluppo in serie. Mandando quindi in questo pezzo della sommatoria, questa puo' partire da 0 e mettendo tutto insieme si ricava:
e quindi la relazione ricorsiva:

Occorre ora studiare la convergenza di questa serie. Risulta:

per cui il raggio di convergenza e' 1. Questo significa che si puo' scrivere:
con serie geometrica di ragione , quindi:
pertanto in diverge.

Siccome le autofunzioni devono essere a quadrato sommabile in , la serie deve ridursi ad un polinomio e quindi arrestarsi. Questo accade se si verifica la relazione:

ovvero, ricordando la definizione di :
deve dunque risultare:
gli autovalori di e risultano quindi:

Si noti un fatto importante: tranne quando . Questa e' una differenza notevole rispetto al caso classico: significa che la componente del momento angolare non e' mai lunga quanto il vettore stesso e quindi il momento angolare non e' mai allineato esattamente lungo una direzione prestabilita. Questa caratteristica e' una conseguenza del principio di indeterminazione. Il fatto che il momento angolare non puo' mai essere orientato lungo una direzione precisa implica che anche se si riesce a stabilire la sua componente lungo , nulla si puo' dire per quanto riguarda le due altre componenti e .

L'implicazione diretta e' che il momento angolare deve precedere intorno alla direzione scelta. Si consideri infatti il valore medio della componente sull'autostato con autovalore :

Un discorso analogo puo' essere fatto per il valore medio di , si ricava pertanto:
Siccome il valore medio della componente e del momento angolare e' nullo e la componente lungo e' inferiore alla lunghezza totale, il momento angolare deve precedere.


ARMONICHE SFERICHE


Le autofunzioni contemporanee dell'operatore  e  si indicano con la notazione  e

sono chiamate armoniche sferiche. Risulta quindi:[2]

Esse sono estremamente importanti in meccanica quantistica e pertanto saranno trattate piu' approfonditamente.

I polinomi sono detti polinomi di Legendre e sono i cosiddetti polinomi associati di Legendre.

I polinomi di Legendre rappresentano l'ortogonalizzazione nell'intervallo della serie di potenze rispetto alla norma di :

e quindi concettualmente possono ricavarsi con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmmidt. Esiste tuttavia una formula ricorsiva, detta di Rodrigues, che permette di calcolarli piu' semplicemente:
I polinomi associati di Legendre sono definiti a partire dai polinomi di Legendre secondo la regola:

Una volta normalizzate le armoniche sferiche hanno quindi la forma:

e soddisfano dunque la proprieta' di ortonormalita' ():
e di completezza:

Le armoniche sferiche hanno importanti proprieta' di simmetria. Sotto inversione completa di coordinate hanno parita' pari a :

mentre per inversione nel piano hanno parita' pari a :
infine, sotto inversione della coordinata hanno parita' pari a :
Le prime armoniche sferiche sono:

- per :

- per :

- per :


EQUIVALENZA DELLE DIREZIONI NELLO SPAZIO


E' interessante sottolineare che la quantizzazione del momento angolare non rompe comunque l'isotropia dello spazio. In altri termini anche se una componente del momento angolare lungo una determinata direzione risulta quantizzata e nulla si puo' dire per quanto riguarda le altre, tutte le direzioni dello spazio risultano ancora equivalenti.

Per mostrare questo, si consideri il caso di . Se si fissa una direzione , allora esistono tre autostati di relativi agli autovalori +1, 0, -1, con autofunzioni rispettivamente (si considera qui la sola parte angolare):

con . Si supponga ora di trovarsi nell'autostato . L'operatore non ha valore definito in questo stato e si possono pertanto solo associare delle probabilita' al possibile risultato di una misura. Essendo soggetto alle stesse limitazioni di , l'autostato di relativo a si deve quindi scrivere come una combinazione lineare delle tre autofunzioni di (denominate con ) relative ai possibili esiti di una misurazione:
dove , e rappresentano evidentemente le probabilita' di ottenere i tre risultati di una misura di .

Per trovare gli autostati di , basta semplicemente ruotare il sistema di riferimento di intorno all'asse , ovvero applicare le trasformazioni:

Corso MQ Equivalenza spazio.png

Torna ora utile notare che:[3]

Ora, con la trasformazione di coordinate riportata sopra, si ricava:

dove e indicano le coordinate angolari nel nuovo sistema di riferimento. Nel nuovo sistema di riferimento quindi c'e' una uguale probabilita' di trovare 1 o -1 come risultato di una misura di e quindi .

Ne consegue anche che per uno stato generico risulta:

che rappresenta formalmente il fatto che la quantizzazione non rompe l'isotropia dello spazio.

  1. In maniera alternativa, queste relazioni si possono ricavare esplicitamente notando che valgono le relazioni:
    e ricordando le relazioni di trasformazione:
  2. Si faccia attenzione che scritte cos\i' non sono normalizzate.
  3. Si utilizza banalmente la formula di Eulero:
    da cui si ricava immediatamente:
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