Impostazione del problema

Nella meccanica quantistica non relativistica ad ogni osservabile è associato un operatore hermitiano. Valgono il principio di corrispondenza e di sovrapposizione (che deriva dalla linearità dell'equazione):

$${\begin{aligned}{\begin{cases}{\hat {x}}&\rightarrow x\\[1.25ex]{\hat {p}}&\rightarrow {\dfrac {\hbar }{i}}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\end{cases}}\qquad \qquad \psi =\sum _{n}a_{n}\psi _{n}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\begin{cases}{\hat {x}}&\rightarrow x\\[1.25ex]{\hat {p}}&\rightarrow {\dfrac {\hbar }{i}}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\end{cases}}\qquad \qquad \psi =\sum _{n}a_{n}\psi _{n}\end{aligned}}$$

e la media di un operatore ${\hat {\Omega }}$${\hat {\Omega }}$è data da:

$$\langle {\hat {\Omega }}\rangle =\int \psi ^{\ast }{\hat {\Omega }}\psi d^{3}x$$

$$\langle {\hat {\Omega }}\rangle =\int \psi ^{\ast }{\hat {\Omega }}\psi d^{3}x$$

L'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica ci fornisce inoltre un'equazione di continuità per le probabilità:

$$\psi ^{\ast }\psi =\varrho \qquad {\frac {\partial }{\partial t}}=i\hbar {\vec {\nabla }}\cdot \left[({\vec {\nabla }}\psi ^{\ast })\psi -\psi ^{\ast }{\vec {\nabla }}\psi \right]={\vec {\jmath }}$$

$$\psi ^{\ast }\psi =\varrho \qquad {\frac {\partial }{\partial t}}=i\hbar {\vec {\nabla }}\cdot \left[({\vec {\nabla }}\psi ^{\ast })\psi -\psi ^{\ast }{\vec {\nabla }}\psi \right]={\vec {\jmath }}$$

dove la densità $\varrho$$\varrho$è definita positiva.

La conseguenza fondamentale della meccanica quantistica è la relazione di indeterminazione $\Delta x\Delta p\geq \hbar /2$$\Delta x\Delta p\geq \hbar /2$. A questo, la relatività aggiunge "solo" la condizione $v<c$$v<c$ e la relazione $E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$$E^2=m^2c^4+p^2c^2$. Questo ha tuttavia grosse implicazioni sullo scarto indotto da $p$$p$ (e quindi da $q$$q$) su $E$$E$:

$$\Delta E=\Delta \left({\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}\right)$$

$$\Delta E=\Delta \left({\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}\right)$$

lo scarto indotto su $E$$E$ da $p$$p$è esprimibile anche come $\Delta E={\frac {\partial E}{\partial p}}\Delta p$$\Delta E={\frac {\partial E}{\partial p}}\Delta p$, per cui:

$$\Delta E={\frac {c^{2}p}{\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}}\Delta p={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p$$

$$\Delta E={\frac {c^{2}p}{\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}}\Delta p={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p$$

ricordando che $p={\frac {Ev}{c^{2}}}$$p={\frac {Ev}{c^{2}}}$ ed utilizzando il principio di indeterminazione:

$$\Delta E={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p=v\Delta p\rightarrow {\frac {\delta q\Delta E}{v}}\simeq \hbar \rightarrow \Delta q\Delta E\simeq v\hbar$$

$$\Delta E={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p=v\Delta p\rightarrow {\frac {\delta q\Delta E}{v}}\simeq \hbar \rightarrow \Delta q\Delta E\simeq v\hbar$$

e $v\hbar$$v\hbar$è una costante che al massimo vale $c\hbar$$c\hbar$, per cui se $\delta q\to 0$$\delta q\to 0$, $\Delta E\to \infty$$\Delta E\to \infty$. Ma sappiamo che l'energia contribuisce alla massa, per cui all'aumentare di $\Delta E$$\Delta E$ ci si deve aspettare la creazione di nuove particelle. Una trattazione uniparticellare non è quindi più valida, il numero di particelle deve essere una variabile dinamica e questo non è come trattare un sistema a più particelle.

Vediamo ora cosa accade se cerchiamo direttamente una funzione d'onda che soddisfi la relazione relativistica fra energia e impulso: questo conduce all'equazione di Klein-Gordon.