consideriamo ora l'equazione di Dirac:
![{\displaystyle [\gamma _{\mu }\cdot p_{\mu }+mc]\psi =0\qquad {\text{ovvero}}\qquad \left[{\frac {\hbar }{i}}\gamma _{\mu }\partial _{\mu }+mc\right]\psi =0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d5120817e8423f3ee9fa835dc429957bd2ccd64c)
La richiesta di covarianza per trasformazioni di Lorentz implica la ricerca di un operatore tale che

in modo da soddisfare ancora la stessa equazione. Di conseguenza, questo equivale a cercare una matrice che soddisfi la trasformazione

, e quindi che soddisfi anche le:



e cioé, in definitiva, che rispetti:

Riscriviamo quindi l'equazione di Dirac in termini di
e
:
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar }{i}}{\tilde {\gamma }}_{\mu }\partial '_{\mu }+mc\right]\psi '(x')=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0ff0fc1a3944858a13412686bea22ad64aeb21f2)
dove abbiamo fatto la posizione:

L'equazione di Dirac può essere espressa in questi termini:

che moltiplicata a sinistra per

fornisce:

ricordando che vale la relazione:

l'equazione di sopra diventa:

la trasformazione

rimane quindi invariata l'equazione di Dirac se risulta verificata la relazione:

siccome la matrice

commuta con

in quanto agiscono su spazi diversi, mandiamo

in

e moltiplichiamo poi per

:

Passiamo ora a considerare trasformazioni infinitesime:


dove le

sono 4 matrici antisimmetriche. Sostituiamo queste nella condizione su

di sopra e ricordando che gli indici muti possono essere rinominati:

che permette di ricavare la relazione per le matrici

:
![{\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\alpha },\gamma _{\beta }]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a4bf8ede2b81a91af78b036158acbc2e37ec40ce)
e quindi le rotazioni infinitesime sono espresse da:

Consideriamo ora la parte spaziale del generatore delle rotazioni:

ora, ricordando anche che vale

:

dove con

abbiamo indicato

, una sorta di
matrice

in 4 dimensioni. La parte spaziale risulta in definitiva:

che è una matrice simile a quelle di rotazione della

per particelle con spin. La parte temporale fornisce:

ma

risulta legata alla velocita', quindi le componenti temporali delle rotazioni infinitesime corrispondono alle trasformazioni di Lorentz propriamente dette.
Consideriamo ora l'equazione di Dirac scritta per le componenti
. L'equazione si scrive in questo caso:

siccome

, l'equazione di sopra si può riscrivere come:

dove la quantità

rappresenta in sostanza la

con le ultime due componenti cambiate di segno. Definendo

, l'equazione assume la forma:

Ne consegue che quello che deve avere senso fisico è la quantità

e non la semplice

.Infatti, come abbiamo appena visto, è la quantità

sulla quale l'equazione di Dirac conserva la sua forma, ovvero risulta covariante. La densità di corrente per la

si può ricavare a partire dall'equazione scritta per la

, dove definendo

e

:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varrho =c{\vec {\nabla }}\left[\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi \right]=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6c82a13f496b0c99f9221b409e3b2033c0c6f8ad)
Ma la densità di corrente e di probabilità possono essere scritte anche come:


ne consegue quindi che il quadrivettore

soddisfa anch'esso l'equazione di continuità:

Siamo ora pronti per vedere come trasforma la quantità
e quindi il quadrivettore corrente
:

ma:

siccome è dimostrabile che

, la precedente è riscrivibile nella forma:

Il termine della corrente di probabilità assume allora la forma:

Ma

è la relazione che definisce

e quindi il termine appena scritto equivale a

. La legge di trasformazione diventa pertanto:

ed in definitiva:

ovvero trasforma esattamente come un quadrivettore.
L'insieme delle matrici combinazioni di
,
e
aventi proprieta' definite di trasformazione (di Lorentz) sono 16, si indicano complessivamente con
e sono denominate covarianti bilineari. Quelle riportate nella tabella seguente sono le uniche possibili, in quanto tutte le altre combinazioni di matrici
si riducono a queste sfruttando le proprietà di queste matrici.