Invarianza per trasformazioni

consideriamo ora l'equazione di Dirac:

$$[\gamma _{\mu }\cdot p_{\mu }+mc]\psi =0\qquad {\text{ovvero}}\qquad \left[{\frac {\hbar }{i}}\gamma _{\mu }\partial _{\mu }+mc\right]\psi =0$$

$$[\gamma _{\mu }\cdot p_{\mu }+mc]\psi =0\qquad {\text{ovvero}}\qquad \left[{\frac {\hbar }{i}}\gamma _{\mu }\partial _{\mu }+mc\right]\psi =0$$

La richiesta di covarianza per trasformazioni di Lorentz implica la ricerca di un operatore tale che $\psi (x)\rightarrow \psi '(x')$$\psi (x)\rightarrow \psi '(x')$ in modo da soddisfare ancora la stessa equazione. Di conseguenza, questo equivale a cercare una matrice che soddisfi la trasformazione $\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (x)$$\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (x)$, e quindi che soddisfi anche le:

$$\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x')$$

$$\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x')$$

$$\psi (x)=S^{-1}(\Lambda )\psi '(x')$$

$$\psi (x)=S^{-1}(\Lambda )\psi '(x')$$

$$\psi (x)=S(\Lambda ^{-1})\psi '(x)$$

$$\psi (x)=S(\Lambda ^{-1})\psi '(x)$$

e cioé, in definitiva, che rispetti:

$$S^{-1}(\Lambda )=S(\Lambda ^{-1})$$

$$S^{-1}(\Lambda )=S(\Lambda ^{-1})$$

Riscriviamo quindi l'equazione di Dirac in termini di $\psi '$$\psi '$ e $x'$$x'$:

$$\left[{\frac {\hbar }{i}}{\tilde {\gamma }}_{\mu }\partial '_{\mu }+mc\right]\psi '(x')=0$$

$$\left[{\frac {\hbar }{i}}{\tilde {\gamma }}_{\mu }\partial '_{\mu }+mc\right]\psi '(x')=0$$

dove abbiamo fatto la posizione:

$${\tilde {\gamma }}_{\mu }=u^{\dagger }\gamma _{\mu }u\qquad u^{\dagger }u=\mathbb {I}$$

$${\tilde {\gamma }}_{\mu }=u^{\dagger }\gamma _{\mu }u\qquad u^{\dagger }u=\mathbb {I}$$

L'equazione di Dirac può essere espressa in questi termini:

$${\frac {\hbar }{i}}\gamma _{\mu }\partial _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\psi '+mcS^{-1}(\Lambda )\psi '=0$$

$${\frac {\hbar }{i}}\gamma _{\mu }\partial _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\psi '+mcS^{-1}(\Lambda )\psi '=0$$

che moltiplicata a sinistra per $S(\Lambda )$$S(\Lambda )$ fornisce:

$${\frac {\hbar }{i}}S(\Lambda )\gamma _{\mu }\partial _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\psi '+mc\psi '=0$$

$${\frac {\hbar }{i}}S(\Lambda )\gamma _{\mu }\partial _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\psi '+mc\psi '=0$$

ricordando che vale la relazione:

$${\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial x'^{\nu }}}{\frac {\partial x'^{\nu }}{\partial x^{\mu }}}$$

$${\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial x'^{\nu }}}{\frac {\partial x'^{\nu }}{\partial x^{\mu }}}$$

l'equazione di sopra diventa:

$${\frac {\hbar }{i}}S(\Lambda )\gamma _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\Lambda _{\mu \nu }\partial '_{\nu }\psi '+mc\psi '=0$$

$${\frac {\hbar }{i}}S(\Lambda )\gamma _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\Lambda _{\mu \nu }\partial '_{\nu }\psi '+mc\psi '=0$$

la trasformazione $S(\Lambda )$$S(\Lambda )$ rimane quindi invariata l'equazione di Dirac se risulta verificata la relazione:

$$S(\Lambda )\gamma _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\Lambda _{\mu \nu }=\gamma _{\nu }$$

$$S(\Lambda )\gamma _{\mu }S^{-1}(\Lambda )\Lambda _{\mu \nu }=\gamma _{\nu }$$

siccome la matrice $\Lambda _{\mu \nu }$$\Lambda _{\mu \nu }$ commuta con $S(\Lambda )$$S(\Lambda )$ in quanto agiscono su spazi diversi, mandiamo $\Lambda$$\Lambda$ in $\Lambda ^{-1}$$\Lambda ^{-1}$ e moltiplichiamo poi per $\Lambda$$\Lambda$:

$$S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )=\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }$$

$$S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )=\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }$$

Passiamo ora a considerare trasformazioni infinitesime:

$$\Lambda _{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }+\epsilon \omega _{\mu \nu }$$

$$\Lambda _{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }+\epsilon \omega _{\mu \nu }$$

$$S(\Lambda )=\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\mu \nu }\omega _{\mu \nu }$$

$$S(\Lambda )=\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\mu \nu }\omega _{\mu \nu }$$

dove le $\sigma _{\mu \nu }$$\sigma _{\mu \nu }$ sono 4 matrici antisimmetriche. Sostituiamo queste nella condizione su $S(\Lambda )$$S(\Lambda )$ di sopra e ricordando che gli indici muti possono essere rinominati:

$${\begin{aligned}(\delta _{\mu \nu }+\epsilon \omega _{\mu \nu })\gamma _{\nu }&=(\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta })\gamma _{\mu }(\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\lambda \rho }\omega _{\lambda \rho })\rightarrow \\\epsilon \omega _{\mu \nu }\gamma _{\nu }&={\frac {i}{4}}\epsilon (\sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta })\rightarrow \\\epsilon \omega _{\mu \nu }\gamma _{\nu }&={\frac {i}{4}}\epsilon \omega _{\alpha \beta }(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\rightarrow \\{\frac {\omega _{\alpha \beta }}{2}}(\delta _{\alpha \mu }\gamma _{\beta }-\delta _{\beta _{\mu }}\gamma _{\alpha })&={\frac {i}{4}}\epsilon \omega _{\alpha \beta }(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\rightarrow \\2(\delta _{\alpha \mu }\gamma _{\beta }-\delta _{\beta _{\mu }}\gamma _{\alpha })&=i(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}(\delta _{\mu \nu }+\epsilon \omega _{\mu \nu })\gamma _{\nu }&=(\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta })\gamma _{\mu }(\mathbb {I} -{\frac {i}{4}}\epsilon \sigma _{\lambda \rho }\omega _{\lambda \rho })\rightarrow \\\epsilon \omega _{\mu \nu }\gamma _{\nu }&={\frac {i}{4}}\epsilon (\sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta }\omega _{\alpha \beta })\rightarrow \\\epsilon \omega _{\mu \nu }\gamma _{\nu }&={\frac {i}{4}}\epsilon \omega _{\alpha \beta }(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\rightarrow \\{\frac {\omega _{\alpha \beta }}{2}}(\delta _{\alpha \mu }\gamma _{\beta }-\delta _{\beta _{\mu }}\gamma _{\alpha })&={\frac {i}{4}}\epsilon \omega _{\alpha \beta }(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\rightarrow \\2(\delta _{\alpha \mu }\gamma _{\beta }-\delta _{\beta _{\mu }}\gamma _{\alpha })&=i(\sigma _{\alpha \beta }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\sigma _{\alpha \beta })\end{aligned}}$$

che permette di ricavare la relazione per le matrici $\sigma _{\alpha \beta }$$\sigma _{\alpha \beta }$:

$$\sigma _{\alpha \beta }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\alpha },\gamma _{\beta }]$$

$$\sigma _{\alpha \beta }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\alpha },\gamma _{\beta }]$$

e quindi le rotazioni infinitesime sono espresse da:

$$S=\mathbb {I} -{\frac {1}{8}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\epsilon \omega _{\mu \nu }=\mathbb {I} -{\frac {1}{4}}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\epsilon \omega _{\mu \nu }$$

$$S=\mathbb {I} -{\frac {1}{8}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\epsilon \omega _{\mu \nu }=\mathbb {I} -{\frac {1}{4}}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\epsilon \omega _{\mu \nu }$$

Consideriamo ora la parte spaziale del generatore delle rotazioni:

$${\vec {\gamma }}=\beta {\vec {\alpha }}=\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)$$

$${\vec {\gamma }}=\beta {\vec {\alpha }}=\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)$$

ora, ricordando anche che vale $\sigma _{i}\sigma _{j}=i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}$$\sigma _{i}\sigma _{j}=i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}$:

$$\gamma _{i}\gamma _{j}=\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{array}}\right)=i\epsilon _{ijk}\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)\equiv i\epsilon _{ijk}\Sigma _{k}$$

$$\gamma _{i}\gamma _{j}=\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{array}}\right)=i\epsilon _{ijk}\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)\equiv i\epsilon _{ijk}\Sigma _{k}$$

dove con $\Sigma _{k}$$\Sigma _{k}$ abbiamo indicato $\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)$$\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\\\end{array}}\right)$, una sorta di matrice ${\vec {\sigma }}$${\vec {\sigma }}$ in 4 dimensioni. La parte spaziale risulta in definitiva:

$$S=\mathbb {I} +{\frac {i}{4}}\epsilon _{ijk}\Sigma _{k}\epsilon \omega _{ij}$$

$$S=\mathbb {I} +{\frac {i}{4}}\epsilon _{ijk}\Sigma _{k}\epsilon \omega _{ij}$$

che è una matrice simile a quelle di rotazione della $\psi$$\psi$ per particelle con spin. La parte temporale fornisce:

$$\gamma _{i}\gamma _{4}=i\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)=i\left({\begin{array}{cc}0&-{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)=-i\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)\equiv -i{\vec {\alpha }}$$

$$\gamma _{i}\gamma _{4}=i\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)=i\left({\begin{array}{cc}0&-{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)=-i\left({\begin{array}{cc}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\\\end{array}}\right)\equiv -i{\vec {\alpha }}$$

ma $c{\vec {\alpha }}$$c{\vec {\alpha }}$ risulta legata alla velocita', quindi le componenti temporali delle rotazioni infinitesime corrispondono alle trasformazioni di Lorentz propriamente dette.

Consideriamo ora l'equazione di Dirac scritta per le componenti $\psi ^{\dagger }=(\psi _{1}^{\ast },\psi _{2}^{\ast },\psi _{3}^{\ast },\psi _{4}^{\ast })$$\psi ^{\dagger }=(\psi _{1}^{\ast },\psi _{2}^{\ast },\psi _{3}^{\ast },\psi _{4}^{\ast })$. L'equazione si scrive in questo caso:

$$-{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\dagger }+{\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}\psi ^{\dagger }\alpha -\psi ^{\dagger }\beta mc=0$$

$$-{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\dagger }+{\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}\psi ^{\dagger }\alpha -\psi ^{\dagger }\beta mc=0$$

siccome $\beta ^{2}=\mathbb {I}$$\beta ^{2}=\mathbb {I}$, l'equazione di sopra si può riscrivere come:

$${\begin{aligned}\hbar \partial _{4}\psi ^{\dagger }\beta ^{2}+{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{\dagger }\beta ^{2}\alpha -\psi ^{\dagger }\beta mc&=0\\{\frac {\hbar }{i}}\partial _{4}\psi ^{\dagger }\beta \gamma _{4}+{\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}\psi ^{\dagger }\beta {\vec {\gamma }}-\psi ^{\dagger }\beta mc&=0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\hbar \partial _{4}\psi ^{\dagger }\beta ^{2}+{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{\dagger }\beta ^{2}\alpha -\psi ^{\dagger }\beta mc&=0\\{\frac {\hbar }{i}}\partial _{4}\psi ^{\dagger }\beta \gamma _{4}+{\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}\psi ^{\dagger }\beta {\vec {\gamma }}-\psi ^{\dagger }\beta mc&=0\end{aligned}}$$

dove la quantità $\psi ^{\dagger }\beta$$\psi ^{\dagger }\beta$ rappresenta in sostanza la $\psi ^{\dagger }$$\psi ^{\dagger }$ con le ultime due componenti cambiate di segno. Definendo ${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\beta$${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\beta$, l'equazione assume la forma:

$${\bar {\psi }}(\gamma _{\mu }p_{\mu }-mc)=0$$

$${\bar {\psi }}(\gamma _{\mu }p_{\mu }-mc)=0$$

Ne consegue che quello che deve avere senso fisico è la quantità ${\bar {\psi }}$${\bar {\psi }}$ e non la semplice $\psi ^{\dagger }$$\psi ^{\dagger }$.Infatti, come abbiamo appena visto, è la quantità ${\bar {\psi }}$${\bar {\psi }}$ sulla quale l'equazione di Dirac conserva la sua forma, ovvero risulta covariante. La densità di corrente per la ${\bar {\psi }}$${\bar {\psi }}$ si può ricavare a partire dall'equazione scritta per la $\psi$$\psi$, dove definendo $\varrho \equiv \psi ^{\dagger }\psi$$\varrho \equiv \psi ^{\dagger }\psi$ e ${\vec {\jmath }}\equiv c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi$${\vec {\jmath }}\equiv c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi$:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\varrho =c{\vec {\nabla }}\left[\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi \right]=0$$

$${\frac {\partial }{\partial t}}\varrho =c{\vec {\nabla }}\left[\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi \right]=0$$

Ma la densità di corrente e di probabilità possono essere scritte anche come:

$${\vec {\jmath }}=c\psi ^{\dagger }\beta ^{2}{\vec {\alpha }}\psi =c{\bar {\psi }}{\vec {\gamma }}\psi$$

$${\vec {\jmath }}=c\psi ^{\dagger }\beta ^{2}{\vec {\alpha }}\psi =c{\bar {\psi }}{\vec {\gamma }}\psi$$

$$\varrho =\psi ^{\dagger }\beta ^{2}\psi ={\bar {\psi }}\beta \psi =-i{\bar {\psi }}\gamma _{4}\psi$$

$$\varrho =\psi ^{\dagger }\beta ^{2}\psi ={\bar {\psi }}\beta \psi =-i{\bar {\psi }}\gamma _{4}\psi$$

ne consegue quindi che il quadrivettore $j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$$j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$ soddisfa anch'esso l'equazione di continuità:

$$\partial _{\mu }j_{\mu }=0$$

$$\partial _{\mu }j_{\mu }=0$$

Siamo ora pronti per vedere come trasforma la quantità ${\bar {\psi }}$${\bar {\psi }}$ e quindi il quadrivettore corrente $j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$$j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$:

$$\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (x)\qquad \psi '^{\dagger }(x')=\psi ^{\dagger }(x)S^{\dagger }(x)$$

$$\psi '(x')=S(\Lambda )\psi (x)\qquad \psi '^{\dagger }(x')=\psi ^{\dagger }(x)S^{\dagger }(x)$$

ma:

$$\psi '^{\dagger }(x')\beta \equiv {\bar {\psi }}'(x')=\psi ^{\dagger }\beta ^{2}S^{\dagger }(\Lambda )\beta \equiv {\bar {\psi }}(x)\beta S^{\dagger }(\Lambda )\beta$$

$$\psi '^{\dagger }(x')\beta \equiv {\bar {\psi }}'(x')=\psi ^{\dagger }\beta ^{2}S^{\dagger }(\Lambda )\beta \equiv {\bar {\psi }}(x)\beta S^{\dagger }(\Lambda )\beta$$

siccome è dimostrabile che $\beta S^{\dagger }(\Lambda )\beta =S^{-1}(\Lambda )$$\beta S^{\dagger }(\Lambda )\beta =S^{-1}(\Lambda )$, la precedente è riscrivibile nella forma:

$${\bar {\psi }}'(x')={\bar {\psi }}(x)S^{-1}(\Lambda )$$

$${\bar {\psi }}'(x')={\bar {\psi }}(x)S^{-1}(\Lambda )$$

Il termine della corrente di probabilità assume allora la forma:

$${\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi ={\bar {\psi }}S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )\psi$$

$${\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi ={\bar {\psi }}S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )\psi$$

Ma $S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )$$S^{-1}(\Lambda )\gamma _{\mu }S(\Lambda )$è la relazione che definisce $S(\Lambda )$$S(\Lambda )$ e quindi il termine appena scritto equivale a ${\bar {\psi }}\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }\psi$${\bar {\psi }}\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }\psi$. La legge di trasformazione diventa pertanto:

$${\bar {\psi }}(x)\gamma _{\mu }\psi (x)={\bar {\psi }}(x)\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }\psi (x)=\Lambda _{\mu \nu }{\bar {\psi }}(x)\gamma _{\nu }\psi (x)$$

$${\bar {\psi }}(x)\gamma _{\mu }\psi (x)={\bar {\psi }}(x)\Lambda _{\mu \nu }\gamma _{\nu }\psi (x)=\Lambda _{\mu \nu }{\bar {\psi }}(x)\gamma _{\nu }\psi (x)$$

ed in definitiva:

$${\vec {\jmath }}'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }{\vec {\jmath }}_{\nu }$$

$${\vec {\jmath }}'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }{\vec {\jmath }}_{\nu }$$

ovvero trasforma esattamente come un quadrivettore.

L'insieme delle matrici combinazioni di $\gamma _{\mu }$$\gamma _{\mu }$, ${\bar {\psi }}$${\bar {\psi }}$ e $\psi$$\psi$ aventi proprieta' definite di trasformazione (di Lorentz) sono 16, si indicano complessivamente con $\Gamma$$\Gamma$ e sono denominate covarianti bilineari. Quelle riportate nella tabella seguente sono le uniche possibili, in quanto tutte le altre combinazioni di matrici $\gamma _{\mu }$$\gamma _{\mu }$ si riducono a queste sfruttando le proprietà di queste matrici.