Traslazioni temporali

Anche le traslazioni temporali sono ovviamente un'operazione di simmetria: ci aspettiamo che una legge fisica non vari da ora fino alla fine dell'universo (posto ovviamente che la legge fisica in questione sia giusta quasi a livelli metafisici, ipotesi mentale che facciamo). Partendo dall'equazione di Schrödinger avevamo già trovato che la parte temporale della funzione d'onda è una fase , per cui possiamo dire tranquillamente che:

Questo descrive l'evoluzione temporale della funzione d'onda. Adesso siamo però nella teoria di Dirac, dove trattiamo stati invece che funzioni d'onda, ma non possiamo che aspettarci lo stesso risultato, in quanto anche per gli stati vale l'equazione di Schrödinger. Possiamo allora definire un operatore unitario che descrive la traslazione temporale, il cui generatore è l'hamiltoniana stessa:

Questa è ovviamente un'operazione di simmetria, che mantiene inalterato qualsiasi prodotto scalare. Come abbiamo già anticipato, gli osservabili si trasformano sotto simmetria come . Quindi un osservabile evolve nel tempo come:

Questa è nota come rappresentazione di Heisenberg dell'evoluzione temporale di un osservabile, che si differenzia dalla rappresentazione di Schrödinger in cui gli osservabili sono indipendenti dal tempo e a variare nel tempo sono invece gli stati. Le due rappresentazioni sono equivalenti tra loro: ciò che fisicamente conta è infatti il valore di aspettazione dell'osservabile stesso, che in entrambi i casi evolve allo stesso modo. Vedere che sono equivalenti è banale:

Usando la rappresentazione di Heisenberg siamo al sicuro da eventuali dubbi: non è infatti scontato che un osservabile abbia una dipendenza esplicita dal tempo, ma ce l'ha sicuramente. Nel caso non abbia dipendenza esplicita dal tempo la rappresentazione di Heisenberg ci dice che:

Le simmetrie dell'hamiltoniana sono diverse dalle simmetrie di un qualunque osservabile: a queste corrispondono infatti leggi di conservazione; alla traslazione spaziale corrisponde la conservazione dell'impulso, alla traslazione temporale la conservazione dell'energia e all'invarianza dell'hamiltoniana sotto rotazioni corrisponde la conservazione del momento angolare. È quindi di non poco conto il caso in cui l'hamiltoniana sia invariante sotto simmetrie. Supponiamo infatti che un osservatore veda l'evoluzione di uno stato come , mentre un altro osservatore lo vede evolvere come . Lo stato può anche essere diverso a causa dell'operazione di simmetria causata da , ma l'evoluzione temporale deve essere la stessa: deriva direttamente dall'equazione di Schrödinger, non l'abbiamo tirata fuori da nessun cilindro magico. Affinché quindi l'evoluzione temporale sia la stessa deve valere:

Ovvero , ovvero ancora . Se espandiamo in serie l'esponenziale a destra e a sinistra nella precedente uguaglianza otteniamo che:

O anche . Questo risultato fondamentale vale per tutte le simmetrie: quando i generatori della simmetria commutano con l'hamiltoniana, questa è invariante sotto quella simmetria e, quindi, c'è una legge di conservazione.

Discorso diverso va fatto nel caso fosse antilineare, ovvero : vengono fuori cose strane. Infatti, posto , sfruttando l'antilinearità dell'operatore:

Questo vorrebbe dire che, nel caso fosse antilineare, ci sarebbe una duplicazione di livelli energetici: per ogni livello di energia positivo ce ne sarebbe un corrispettivo negativo, entrambi legati allo stesso stato. Questo risultato, noto come duplicazione di Kramer, porterebbe a contraddizioni palesi e abbastanza preoccupanti se, ovviamente, non ci fosse una via d'uscita. Questa è veramente semplice: quando si ha a che fare con antilineare, l'evoluzione temporale si inverte, quindi:

Da questa deriva immediatamente che . L'inversione temporale che si presenta in questo caso è, in teoria dei campi, strettamente collegata ai concetti di parità e coniugazione di carica, tre inversioni di simmetria regolate dal teorema CPT che pone vincoli a come e quando queste possono verificarsi.

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