Traslazioni spaziali

Consideriamo il vettore posizione e compiamo una traslazione spaziale che ci porta in . Poiché se ci spostiamo da un'altra parte nello spazio le leggi della fisica devono restare le stesse, siamo di fronte a una simmetria e, quindi, possiamo definire un'operatore unitario che compie la traslazione:

Dove deve ovviamente dipendere dalla traslazione che compiamo. Per costruire l'operatore abbiamo bisogno, come visto nella precedente sezione, di un generatore hermitiano; tutti gli osservabili sono hermitiani, quindi proviamo ad usarli; l'impulso è l'operatore scelto affinché:

La forma scelta è coerente con la teoria: le traslazioni non devono infatti cambiare il rango dei tensori, essendo un operatore vettoriale, il risultato deve essere un vettore stesso e, quindi, il prodotto scalare ci permette di evitare dubbi su questo punto di vista. Anche, la costante ci fa tornare le giuste dimensioni fisiche. Compiendo i calcoli, la precedente uguaglianza risulta soddisfatta.

Traslazioni finite[modifica | modifica wikitesto]

Trovato il generatore della trasformazione, possiamo esprimere una traslazione finita come:

Preso l'autostato dell'operatore posizione , possiamo considerarlo come l'autostato della posizione situato nell'origine e poi traslato, ovvero:

Se consideriamo il prodotto scalare con un altro stato (ovvero consideriamo una funzione d'onda):

Possiamo sempre esprimere uno stato espandendolo su un set completo, scegliendo per esempio come base gli autostati dell'impulso, ottenendo:

Il precedente risultato è una proporzionalità (ovvero abbiamo tralasciato eventuali termini numerici di normalizzazione). Questo ci dice che possiamo sempre passare dagli autostati dell'impulso a quelli della posizione operando una trasformata di Fourier (e tornare indietro, eventualmente, con l'antitrasformata).

Onde di Bloch[modifica | modifica wikitesto]

Questi brevi accenni ci permettono di capire delle particolari situazioni che si studiano in fisica dello stato solido, in particolare parlando di metalli. In questi è ormai noto che gli elettroni non restano limitati attorno ai propri atomi ma si comportano a tutti gli effetti come un oggetto unico (chiamata di solito nube elettronica) occupando livelli energetici fatti a bande: nei semimetalli, ad esempio, tra la banda di conduzione e la banda di valenza c'è un gap, mentre i livelli energetici nelle bande sono talmente fitti da poter essere approssimati a continui. Questo è studiato più in particolare nella teoria a bande delle onde di Bloch.

Un esempio di metallo reticolato, ovvero che presenta una composizione spaziale che si ripete nello spazio uguale a se stessa, è il grafene, un particolarissimo cristallo bidimensionale composto di soli atomi di carbonio a struttura planare esagonale. Si può risolvere il problema della funzione d'onda dell'elettrone nel grafene semplicemente partendo da questa caratteristica fisica: la struttura si ripete uguale a se stessa in miliardi di stati, e possiamo quindi approssimare che la funzione sia uguale in ogni punto del materiale. In che senso uguale? Nel senso che differisce al massimo di una fase. L'ipotesi di base è quindi che:

Con indichiamo lo spostamento dopo il quale si ripete la struttura cristallina del materiale, mentre l'indice indica componenti non ortogonali tra loro. Possiamo allora definire un impulso tale che e introduciamo quindi la fase :

Dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato l'ipotesi di base della teoria a bande. Da questa ricaviamo proprio ciò che cercavamo: la funzione d'onda si ripete nello spazio, cambiando di una fase.

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