Trasformazioni di Galileo

Anche le trasformazioni sono un'operazione di simmetria: non fanno altro che cambiare punto di vista dell'osservatore o, per dirla meglio, sistema di riferimento. Tuttavia, dalla meccanica classica non sappiamo di leggi di conservazione legate alle trasformazioni di Galileo, quindi ci aspettiamo che i generatori di questa simmetria non commutino con l'hamiltoniana.

Queste trasformazioni sono descritte, in termini di operatori, da un'espressione del tipo

Sfruttando la rappresentazione di Heisenberg per l'evoluzione temporale dell'operatore posizione:

Di questa prendo la derivata temporale; dalla rappresentazione di Heisenberg sappiamo che , quindi:

Nell'ultimo passaggio abbiamo esplicitato il commutatore e posto . Cos'è ? Se poniamo otteniamo la seguente espressione:

Quindi ha senso ciò che abbiamo scritto. Allora è lecito aspettarsi che , con che sono i generatori delle trasformazioni di Galileo. Di loro sappiamo solo che : per soddisfare questa condizione deve essere , la dimostrazione è un banale prodotto scalare. L'altra informazione che abbiamo è che , questo per permetterci di scrivere trasformazioni in sequenza rispettando la condizione .

Se consideriamo un sistema di particelle non interagenti fra loro e compiamo una trasformazione di Galileo, partendo da , moltiplicando entrambi i membri per la massa dell'ennesima particella :

Questa espressione è corretta se e solo se

Per avere quindi una simmetria sotto le trasformazioni di Galileo, dobbiamo trovare una forma esplicita per l'hamiltoniana che sia indipendente da queste trasformazioni. L'espressione già nota dell'hamiltoniana di sistemi di particelle non interagenti:

Soddisfa questa caratteristica. Se quindi consideriamo le simmetrie come il nucleo di una teoria, l'espressione dell'hamiltoniana per sistemi non interagenti assume questa forma proprio per invarianza sotto trasformazioni di Galileo.

Nel caso relativistico, in cui si operano trasformazioni di Lorentz invece che trasformazioni di Galileo, le cose sono un po' diverse, e diverse sono anche le regole di commutazione che riguardano gli eventuali generatori di quella trasformazione.

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