Operatori di simmetria

Lo studio delle simmetrie è sempre un punto fondamentale in ogni teoria fisica; in meccanica classica, a ogni legge di simmetria corrisponde una legge di conservazione e, in meccanica quantistica, a ogni operazione di simmetria corrisponde un operatore che commuta con l'hamiltoniana e i cui autovalori sono conservati. In virtù di questo approccio, andiamo a vedere cosa comportano le simmetrie e le rispettive trasformazioni.

Compiere operazioni di simmetria non è mai gratis: gli stati cambiano sotto le simmetrie, tuttavia le leggi fisiche devono restare le stesse. In meccanica quantistica l'aspetto fisico della teoria è l'ampiezza di probabilità: tutto il resto sono giochi matematici; se le leggi devono conservarsi, allora la probabilità deve restare invariata sotto trasformazioni di simmetria. Queste operazioni sono descritte da operatori unitari, che mantengono inalterati i prodotti scalari e, quindi, l'ampiezza di probabilità:

Ovviamente, le operazioni di simmetria si possono invertire per tornare allo stato iniziale, semplicemente operando . Oltre agli operatori unitari, si possono utilizzare anche gli operatori antiunitari per descrivere le simmetrie, che hanno le seguenti proprietà:

  1. ;
  2. ;

Si possono combinare più operazioni di simmetria moltiplicandole tra loro, ottenendo operazioni in sequenza. Esiste l'inverso, l'operatore identità e le simmetrie in sequenza sono anch'esse simmetrie, quindi questi operatori formano dei gruppi e seguono l'algebra a loro associata.

Considereremo simmetrie continue e non discrete; queste si possono considerare come sequenze di operazioni infinitesime, che possiamo scrivere come:

Dove viene chiamato generatore della simmetria, mentre è un numero reale piccolo a piacere. Poiché le operazioni di simmetria sono unitarie, deve essere tale da renderle unitarie. Affinché sia verificato, quindi, deve essere:

In conclusione deve essere , ovvero i generatori devono essere hermitiani. In meccanica quantistica tutti gli osservabili sono hermitiani, quindi partono con l'essere buoni candidati.

Per poter ottenere trasformazioni finite a partire da una infinitesima basta metterne tante in sequenza; ad esempio, se poniamo , con grande, se mettiamo in sequenza operazioni infinitesime:

L'ultimo termine è proprio una trasformazione finita.

Possiamo chiederci cosa succede agli osservabili sotto simmetria. Poiché , il valore atteso di un osservabile si trasforma come:

Quindi . Sfruttando la definizione generica di operatore unitario prima scritta, vediamo anche che questo dipende da come commutano osservabile e generatore:

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