Lo studio delle simmetrie è sempre un punto fondamentale in ogni teoria fisica; in meccanica classica, a ogni legge di simmetria corrisponde una legge di conservazione e, in meccanica quantistica, a ogni operazione di simmetria corrisponde un operatore che commuta con l'hamiltoniana e i cui autovalori sono conservati. In virtù di questo approccio, andiamo a vedere cosa comportano le simmetrie e le rispettive trasformazioni.
Compiere operazioni di simmetria non è mai gratis: gli stati
cambiano sotto le simmetrie, tuttavia le leggi fisiche devono restare le stesse. In meccanica quantistica l'aspetto fisico della teoria è l'ampiezza di probabilità: tutto il resto sono giochi matematici; se le leggi devono conservarsi, allora la probabilità deve restare invariata sotto trasformazioni di simmetria. Queste operazioni sono descritte da operatori unitari, che mantengono inalterati i prodotti scalari e, quindi, l'ampiezza di probabilità:

Ovviamente, le operazioni di simmetria si possono invertire per tornare allo stato iniziale, semplicemente operando
. Oltre agli operatori unitari, si possono utilizzare anche gli operatori antiunitari per descrivere le simmetrie, che hanno le seguenti proprietà:
;
;

Si possono combinare più operazioni di simmetria moltiplicandole tra loro, ottenendo operazioni in sequenza. Esiste l'inverso, l'operatore identità e le simmetrie in sequenza sono anch'esse simmetrie, quindi questi operatori formano dei gruppi e seguono l'algebra a loro associata.
Considereremo simmetrie continue e non discrete; queste si possono considerare come sequenze di operazioni infinitesime, che possiamo scrivere come:

Dove
viene chiamato generatore della simmetria, mentre
è un numero reale piccolo a piacere. Poiché le operazioni di simmetria sono unitarie,
deve essere tale da renderle unitarie. Affinché sia verificato, quindi, deve essere:

In conclusione deve essere
, ovvero i generatori devono essere hermitiani. In meccanica quantistica tutti gli osservabili sono hermitiani, quindi partono con l'essere buoni candidati.
Per poter ottenere trasformazioni finite a partire da una infinitesima basta metterne tante in sequenza; ad esempio, se poniamo
, con
grande, se mettiamo in sequenza
operazioni infinitesime:

L'ultimo termine è proprio una trasformazione finita.
Possiamo chiederci cosa succede agli osservabili sotto simmetria. Poiché
, il valore atteso di un osservabile si trasforma come:

Quindi
. Sfruttando la definizione generica di operatore unitario prima scritta, vediamo anche che questo dipende da come commutano osservabile e generatore:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\to &{\mathcal {U}}^{\dagger }A{\mathcal {U}}=(\mathbb {I} -i\epsilon T)A(\mathbb {I} +i\epsilon T)=\\=&(\mathbb {I} -i\epsilon T)(A+i\epsilon AT)=A-i\epsilon TA+i\epsilon AT+o(T^{2})=\\=&A-i\epsilon [T,A]\end{aligned}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3c0852972789159f61039e8c21e894d955697a87)