Operatori di simmetria

Lo studio delle simmetrie è sempre un punto fondamentale in ogni teoria fisica; in meccanica classica, a ogni legge di simmetria corrisponde una legge di conservazione e, in meccanica quantistica, a ogni operazione di simmetria corrisponde un operatore che commuta con l'hamiltoniana e i cui autovalori sono conservati. In virtù di questo approccio, andiamo a vedere cosa comportano le simmetrie e le rispettive trasformazioni.

Compiere operazioni di simmetria non è mai gratis: gli stati ${\boldsymbol {\Psi }}$ ${\boldsymbol {\Psi }}$ cambiano sotto le simmetrie, tuttavia le leggi fisiche devono restare le stesse. In meccanica quantistica l'aspetto fisico della teoria è l'ampiezza di probabilità: tutto il resto sono giochi matematici; se le leggi devono conservarsi, allora la probabilità deve restare invariata sotto trasformazioni di simmetria. Queste operazioni sono descritte da operatori unitari, che mantengono inalterati i prodotti scalari e, quindi, l'ampiezza di probabilità:

\left.{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\Psi }}\to {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}\\&{\boldsymbol {\Phi }}\to {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }}\end{aligned}}\right\}|({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}=|(\underbrace {{\mathcal {U}}^{\dagger }{\mathcal {U}}} _{\mathbb {I} }{\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}=|({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}

Ovviamente, le operazioni di simmetria si possono invertire per tornare allo stato iniziale, semplicemente operando ${\mathcal {U}}^{-1}({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})={\boldsymbol {\Psi }}$ ${\mathcal {U}}^{-1}({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})={\boldsymbol {\Psi }}$ . Oltre agli operatori unitari, si possono utilizzare anche gli operatori antiunitari per descrivere le simmetrie, che hanno le seguenti proprietà:

${\mathcal {U}}(\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\beta {\boldsymbol {\Psi }})=\alpha ^{*}{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}+\beta ^{*}{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}$ ${\mathcal {U}}(\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\beta {\boldsymbol {\Psi }})=\alpha ^{*}{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}+\beta ^{*}{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}$ ;
$({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}=({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Phi }})$ $({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}=({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Phi }})$ ;
$\alpha ({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},\alpha {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}(\alpha ^{*}{\boldsymbol {\Psi }}))=({\mathcal {U}}^{\dagger }{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},\alpha ^{*}{\boldsymbol {\Psi }})=\alpha ^{*}({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}$ $\alpha ({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},\alpha {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},{\mathcal {U}}(\alpha ^{*}{\boldsymbol {\Psi }}))=({\mathcal {U}}^{\dagger }{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Phi }},\alpha ^{*}{\boldsymbol {\Psi }})=\alpha ^{*}({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}$

Si possono combinare più operazioni di simmetria moltiplicandole tra loro, ottenendo operazioni in sequenza. Esiste l'inverso, l'operatore identità e le simmetrie in sequenza sono anch'esse simmetrie, quindi questi operatori formano dei gruppi e seguono l'algebra a loro associata.

Considereremo simmetrie continue e non discrete; queste si possono considerare come sequenze di operazioni infinitesime, che possiamo scrivere come:

{\mathcal {U}}=\mathbb {I} +i\epsilon T+o(T^{2})

Dove $T$ $T$ viene chiamato generatore della simmetria, mentre $\epsilon$ $\epsilon$ è un numero reale piccolo a piacere. Poiché le operazioni di simmetria sono unitarie, $T$ $T$ deve essere tale da renderle unitarie. Affinché sia verificato, quindi, deve essere:

\mathbb {I} ={\mathcal {U}}^{\dagger }{\mathcal {U}}=(\mathbb {I} -i\epsilon T^{\dagger })(\mathbb {I} +i\epsilon T)=\mathbb {I} -i\epsilon (T^{\dagger }-T)+o(T^{2})

In conclusione deve essere $T^{\dagger }=T$ $T^{\dagger }=T$ , ovvero i generatori devono essere hermitiani. In meccanica quantistica tutti gli osservabili sono hermitiani, quindi partono con l'essere buoni candidati.

Per poter ottenere trasformazioni finite a partire da una infinitesima basta metterne tante in sequenza; ad esempio, se poniamo $\epsilon ={\frac {\theta }{N}}$ $\epsilon ={\frac {\theta }{N}}$ , con $N$ $N$ grande, se mettiamo in sequenza $N$ $N$ operazioni infinitesime:

(\mathbb {I} +i{\frac {\theta }{N}}T)(\mathbb {I} +i{\frac {\theta }{N}}T)(\cdots )=(\mathbb {I} +i{\frac {\theta }{N}}T)^{N}{\xrightarrow {N\to \infty }}e^{i\theta T}

L'ultimo termine è proprio una trasformazione finita.

Possiamo chiederci cosa succede agli osservabili sotto simmetria. Poiché ${\boldsymbol {\Psi }}\to {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}$ ${\boldsymbol {\Psi }}\to {\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }}$ , il valore atteso di un osservabile si trasforma come:

<A>_{\boldsymbol {\Psi }}=({\boldsymbol {\Psi }},A{\boldsymbol {\Psi }})\to ({\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }},A\,{\mathcal {U}}{\boldsymbol {\Psi }})=({\boldsymbol {\Psi }},({\mathcal {U}}^{\dagger }A{\mathcal {U}})\,{\boldsymbol {\Psi }})

Quindi $A\to {\mathcal {U}}^{\dagger }A{\mathcal {U}}$ $A\to {\mathcal {U}}^{\dagger }A{\mathcal {U}}$ . Sfruttando la definizione generica di operatore unitario prima scritta, vediamo anche che questo dipende da come commutano osservabile e generatore:

{\begin{aligned}A\to &{\mathcal {U}}^{\dagger }A{\mathcal {U}}=(\mathbb {I} -i\epsilon T)A(\mathbb {I} +i\epsilon T)=\\=&(\mathbb {I} -i\epsilon T)(A+i\epsilon AT)=A-i\epsilon TA+i\epsilon AT+o(T^{2})=\\=&A-i\epsilon [T,A]\end{aligned}}