Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo

Normalmente si ha un'hamiltoniana non dipendente dal tempo, che descrive quindi un sistema isolato, ma in alcuni non succede e abbiamo una che varia nel tempo, descrivendo un sistema più o meno complesso che scambia energia con l'ambiente. Consideriamo un caso simile con una perturbazione dipendente da un parametro piccolo come nei casi precedenti; sarà l'hamiltoniana imperturbata del problema e avremo quindi da inserire nell'equazione di Schrödinger . Supponiamo anche questa volta di conoscere le soluzioni di , anche qui con set completo. Scriviamo allora lo stato generico dipendente dal tempo in funzione di questa base come:

Dove è l'evoluzione temporale già nota. I coefficienti di espansione dipendono anch'essi dal tempo. Andiamo a sostituire questi stati nell'equazione di Schrödinger; il membro di sinistra è:

Il termine a destra è invece:

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

Moltiplichiamo a sinistra per e, saltando un passaggio, otteniamo:

Abbiamo ottenuto un'equazione esatta per i coefficienti di espansione in serie; possiamo considerare, al primo ordine nella teoria delle perturbazioni, : questa può essere una condizione che viene esplicitamente data dal problema a cui si fa riferimento. In questo caso, allora, avremo:

Osserviamo che l'elemento di matrice è fondamentale per poter ottenere efficacemente i coefficienti di espansione e, di conseguenza, gli stati che andiamo a cercare.

 PrecedenteSuccessivo