Tornando alla separazione di riga

Possono esserci termini di interazione nell'hamiltoniana di un sistema, del tipo ; questa resta in ogni caso invariata sotto rotazioni generate da . Consideriamo l'atomo di idrogeno e vediamo un esempio di come questo spieghi la duplicazione di riga introdotta a inizio capitolo.

Sia l'elettrone che il protone hanno spin ; abbiamo studiato che le soluzioni dell'atomo di idrogeno dipendono da con che indica il livello energetico e che indica il grado della parte radiale della funzione d'onda, corrispondente a quello dell'armonica sferica associata. Per sono ammessi stati solo con , ovvero esiste un solo stato fondamentale non degenere; quando però saliamo in avremo che potrà assumere diversi valori: abbiamo più stati per ogni livello energetico e, quindi, una degenerazione energetica.

Introducendo il termine di interazione nell'hamiltoniana questa degenerazione scompare. Chiameremo i livelli energetici in maniera differente: quando , avremo che il livello è . Per esempio, è il livello con . Quando avremo i livelli , poi e così via. Ricapitolando, per ci sarà solo il livello (il pedice indica il momento angolare totale del sistema considerato), mentre per :

Se non consideriamo il termine di interazione, i livelli sono tutti allo stesso livello energetico. Se però entra in gioco l'interazione, che esprimiamo come , andando a sostituire i rispettivi autovalori ci sarà una differenza tra le energie dei livelli: per il livello :

Mentre per il livello :

L'energia associata al livello è poco più bassa dell'energia che avrebbe senza il termine di interazione mentre, al contrario, quella del livello è leggermente più alta: in sintesi si rompe la degenerazione energetica e ci sono due livelli di energia differenti dove prima si pensava ve ne fosse uno solo. Questo è visibile in spettroscopia con la comparsa di due righe molto vicine tra loro al posto dell'unica prevista.

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