Stati invarianti sotto rotazioni

Cerchiamo di costruire stati che siano invarianti sotto rotazioni. Considerate le due rappresentazioni già trattate

Per essere invarianti sotto rotazioni questi stati non devono cambiare quando viene loro applicata la trasformazione . Tuttavia studiare una condizione simile non è facile: se consideriamo una rotazione infinitesima è più facile trattare le cose: vediamo subito che la condizione fondamentale è che . Questa condizione è sempre soddisfatta per , che si verifica nel caso (l'ultimo valore disponibile nella scala è . Questo ci dice che tutti gli stati del tipo sono invarianti sotto rotazioni.

La condizione implica direttamente che, quando , sia , quindi avremo:

Poiché stati simili potrebbero rappresentare particelle scalari; queste rappresentazioni ci dicono anche che potremmo rappresentare una particella di spin come se fosse un sistema di due particelle, entrambi con spin , con uno stato totale simmetrico. Al contrario, per avere lo spin 0, possiamo sempre usare due particelle a spin il cui stato risultante è, però, antisimmetrico.

Andiamo ora alla ricerca di una condizione sui coefficienti di Clebsh-Gordan per stati invarianti sotto rotazioni. Applicando l'operatore allo stato avremo sicuramente un risultato nullo; la stessa cosa dovrà allora succedere nell'altra rappresentazione:

La prima sommatoria scorre nell'intervallo , mentre la seconda su per effetto degli operatori di scala. Posto , la seconda sommatoria scorrerà su e possiamo quindi unire tutta l'espressione sotto un'unica sommatoria; il termine numerico che compariva nella seconda sommatoria cambia e diventa:

Esattamente uguale al primo, quindi otteniamo l'espressione:

In generale, il termine sotto radice non è nullo, deve quindi essere nullo quello tra le parentesi. Otteniamo quindi un risultato importante:

O, per dirla in altre parole, con numero generico, che possiamo ricavare sfruttando la relazione di ortogonalità:

Infine, possiamo allora scrivere i coefficienti di Clebsh-Gordan per gli stati in cui e :

Applicazioni alle armoniche sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Vogliamo applicare questo risultato alle armoniche sferiche; ricordiamo che le rappresentazioni si riferiscono a stati in generale ma in questi rientrano anche le armoniche sferiche. Quindi, quando e avremo:

Dove sono due angoli generici di cui sono funzioni le armoniche sferiche. Senza perdere di generalità possiamo porre e . Ricordiamo che vale sempre la regola . Nel nostro caso allora varrà:

Questo perché per vale ; invertendo:

Questo è anche noto come teorema di addizione delle armoniche sferiche. Questi risultati sono largamente utilizzati in cosmologia per spiegare le anisotropie della radiazione cosmica di fondo. All'inizio si pensava che osservandola in tutte le direzioni restasse sempre alla stessa temperatura, ma questo non è vero e sono presenti delle differenze di temperatura a seconda della direzione. Si studia allora la discrepanza dalla temperatura media, definita come:

Possiamo espandere la discrepanza sulla base delle armoniche sferiche ; questo ha un problema: le discrepanze devono essere numeri reali, ma le armoniche sferiche contengono inevitabilmente termini complessi. Deve allora essere , da cui ricaviamo che .

In questi ragionamenti la media delle temperature viene considerata da dati presi da osservatori a grandi distanze tra loro, distanze molto più grandi di quelle che si potrebbero ottenere sulla Terra o nello stesso sistema solare. Si pone allora che la media sulla discrepanza sia nulla, ovvero:

Si studia solitamente anche la correlazione:

Dove i coefficienti sono detti coefficienti di multipolo.

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