Spin e rotazioni

La prima proposta di spin[modifica | modifica wikitesto]

Gli atomi alcalini come il sodio presentano un solo elettrone nel livello energetico superiore e questo vede il nucleo schermato dagli altri elettroni, come se vi fosse un solo protone; in prima approssimazione, si comportano in modo simile all'idrogeno, sebbene l'elettrone più esterno degli alcalini non risente di un potenziale coulombiano.

Tra i livelli 3p e 3s c'è un piccolo gap di energia, ed è permessa una transizione solo se i due livelli sono leggermente perturbati rispetto alla loro degenerazione elettronica. In spettroscopia si verifica, per questa transizione, una duplicazione di riga, ovvero sono presenti due linee di transizione molto vicine tra loro (5896 e 5890 angstrom); questo fenomeno è assolutamente incomprensibile, anche alla luce degli studi di Bohr e dei primi passi della meccanica ondulatoria.

I primi a presentare una soluzione a questo problema furono Goudsmith e Uhlenbeck i quali proposero l'esistenza di un momento angolare intrinseco dell'elettrone, il quale può avere come proiezione sull'asse solo due valori. Questo momento angolare si accoppia con i deboli campi magnetici dovuti alla rotazione dell'elettrone attorno al nucleo: non serve sapere come l'elettrone gira, se gira si crea un campo magnetico che, per quanto debole possa essere, si accoppia comunque con questo momento angolare intrinseco. Esiste quindi una relazione tra il momento magnetico e il momento angolare intrinseco di una particella:

Dove viene chiamato fattore giromagnetico della particella. Da questo momento in poi, il momento angolare intrinseco dei sistemi venne chiamato momento angolare di spin. L'interazione tra spin e campo magnetico è ben formulata: l'hamiltoniana di interazione sarà . Ovviamente, come tutte le grandi scoperte fatte dall'uomo, anche questa ipotesi venne in primo luogo ignorata dalla maggior parte degli esperti dell'epoca.

Il caso più semplice che possiamo considerare per avere un'espressione dell'hamiltoniana di interazione è che, istante per istante, il nucleo abbia una certa velocità . Se siamo vicini alla carica del nucleo risentiamo di un campo elettrico e, se il nucleo si muove, sarà presente anche un campo magnetico, che non è ovviamente presente nella direzione del moto. Supponiamo che il nucleo si muova lungo l'asse , avremo il campo magnetico con le seguenti componenti:

Vale ovviamente in unità gaussiane. L'hamiltoniana di interazione sarà quindi ; ponendo in coordinate sferiche, otteniamo:

Ovvero l'interazione tra campo magnetico e spin porta a un'interazione tra momento angolare orbitale dell'elettrone con il suo spin. Parleremo ora di simmetria sotto rotazioni, di come queste permettano l'esistenza di un altro momento angolare oltre il già noto e, alla fine, torneremo sulla separazione di riga.

Simmetria per rotazioni[modifica | modifica wikitesto]

Usando come principio chiave della teoria le simmetrie vedremo come il momento angolare di un sistema sia in realtà qualcosa di più generale di .

Poichè l'hamiltoniana è invariante sotto rotazioni, commuta con i generatori della rotazione; gli autovalori dei generatori sono conservati e possono perciò essere dei buoni numeri quantici. Una rotazione è in generale una trasformazione del tipo

Con chiamata matrice di rotazione. Le rotazioni sono simmetrie, e quindi mantengono invariati i prodotti scalari, infatti:

Da questa quindi deve essere che , ovvero che (sono matrici ortogonali); da questa consegue subito che , quindi . Questa condizione sul determinante impone che le matrici di rotazione appartengano al gruppo delle matrici ortogonali di dimensione n-esima . Nella realtà dei fatti esse apparterranno al sottogruppo speciale delle matrici ortogonali tali che , ovvero il sottogruppo delle matrici invertibili e ortogonali.

Come si trasformano gli stati sotto rotazione? Ovviamente potremo scrivere un'espressione del tipo con operatore di rotazione; deve valere, come tutte le simmetrie, . Questo operatore ovviamente rispetta la condizione:

Sfruttiamo le trasformazioni infinitesime, ponendo con rotazione infinitesima. Con questa definizione otteniamo un'importante informazione sulle matrici :

Ovvero : queste sono matrici antisimmetriche. Definiamo una rotazione infinitesima come:

Dove sono i generatori delle rotazioni e sono anch'essi antisimmetrici. Mettendo al posto giusto le costanti dimensionali e complesse per sistemare le regole di commutazione, l'espressione finale è:

Ci chiediamo quali altre condizioni deve soddisfare il generatore , stiamo cioè cercando le sue regole di commutazione. Per ottenerle abbiamo dalla nostra solo due espressioni note:

Vediamo come si ottengono le stesse regole di commutazione di senza però dire un accidenti su stesso. Iniziamo col commutatore con un vettore qualunque:

Da questa ricaviamo il commutatore cercato:

Quest'ultimo passaggio può essere dimostrato osservando che:

Avendo sfruttato il fatto che gli indici sulle sono muti, e quindi possiamo rinominarli a piacimento.

L'altro commutatore che cerchiamo è quello del generatore con se stesso, . Per calcolarlo sfruttiamo le rotazioni in catena:

Essendo un tensore di rango due, l'ultima uguaglianza ci dice che per compiere una rotazione su questo dobbiamo compiere due rotazioni in sequenza. Poniamo adesso come rotazione infinitesima, il primo membro dell'ultima uguaglianza è:

Il secondo membro è invece:

Uguagliandole otteniamo il commutatore cercato:

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