Somma di momenti angolari

Cosa succede quando abbiamo due diversi momenti angolari $\mathbf {J} ',\mathbf {J} ''$ $\mathbf {J} ',\mathbf {J} ''$ (come ad esempio momento angolare orbitale e spin)? Abbiamo due descrizioni possibili del nostro sistema, che corrispondono a due diverse basi nello spazio di Hilbert su cui espandere gli stati del problema. Una è la base $\mathbf {L} ^{2},L_{z},\mathbf {S} ^{2},S_{z}$ $\mathbf {L} ^{2},L_{z},\mathbf {S} ^{2},S_{z}$ , che possiamo rappresentare come ${\boldsymbol {\Psi }}_{l,s}^{l_{z},s_{z}}$ ${\boldsymbol {\Psi }}_{l,s}^{l_{z},s_{z}}$ o, in notazione di Dirac, $\left|l\,l_{z}\right\rangle \left|s\,s_{z}\right\rangle =\left|l\,l_{z},s\,s_{z}\right\rangle$ $\left|l\,l_{z}\right\rangle \left|s\,s_{z}\right\rangle =\left|l\,l_{z},s\,s_{z}\right\rangle$ , mentre l'altra descrizione possibile è tramite $\mathbf {J} ^{2},J_{z}$ $\mathbf {J} ^{2},J_{z}$ , con $\mathbf {J} =\mathbf {J} '+\mathbf {J} ''$ $\mathbf {J} =\mathbf {J} '+\mathbf {J} ''$ . Ci aspettiamo che si possa in qualche modo passare da una rappresentazione all'altra e che siano entrambe valide.

Poiché vale $[J_{i}',J_{j}'']=0$ $[J_{i}',J_{j}'']=0$ , i due momenti angolari hanno autostati comuni, nonostante ognuno abbia i propri autovalori e le proprie proiezione sull'asse ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\hat {\mathbf {z} }}$ . Possiamo scrivere le due rappresentazioni come:

{\boldsymbol {\Psi }}_{l,s}^{l_{z},s_{z}}\quad \leftrightarrow \quad {\boldsymbol {\Psi }}_{l,s,j}^{j_{z}}

La domanda fondamentale è: quali $j$ $j$ sono ammessi? La risposta è che $j$ $j$ può assumere i seguenti valori:

j=j'+j'',\,j'+j''-1,\,\cdots ,|j'-j''|

Dimostreremo a breve questa regola. Per esempio, se una particella ha $l=1,s={\frac {1}{2}}$ $l=1,s={\frac {1}{2}}$ , avremo due possibili valori: $j={\frac {3}{2}},j={\frac {1}{2}}$ $j={\frac {3}{2}},j={\frac {1}{2}}$ . La proiezione $m$ $m$ , ovvero l'autovalore di $J_{3}$ $J_{3}$ , dipende ovviamente da $j$ $j$ , in quanto assume valori $-j\leq m\leq j$ $-j\leq m\leq j$ . Queste regole valgono per tutti i momenti angolari, quanti ce sono e di che tipo non conta. Se consideriamo un sistema di due spin con $s_{1}={\frac {1}{2}},s_{2}={\frac {1}{2}}$ $s_{1}={\frac {1}{2}},s_{2}={\frac {1}{2}}$ abbiamo 4 stati possibili:

{\begin{aligned}&{\text{tripletto }}j=1\left\{{\begin{aligned}&\left|\uparrow \,\uparrow \right\rangle \\&{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}\left|\uparrow \,\downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \,\uparrow \right\rangle {\Big )}\\&\left|\downarrow \,\downarrow \right\rangle \end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{1}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{-1}\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}\\&{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}+{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}{\Big )}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}\\&{\text{singoletto }}j=0{\Big \{}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}\left|\uparrow \,\downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \,\uparrow \right\rangle {\Big )}{\Big |}\,{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0}^{0}\,{\Big |}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}-{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}{\Big )}\end{aligned}}

{\begin{aligned}&{\text{tripletto }}j=1\left\{{\begin{aligned}&\left|\uparrow \,\uparrow \right\rangle \\&{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}\left|\uparrow \,\downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \,\uparrow \right\rangle {\Big )}\\&\left|\downarrow \,\downarrow \right\rangle \end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{1}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{-1}\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}\\&{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}+{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}{\Big )}\\&{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}\\&{\text{singoletto }}j=0{\Big \{}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}\left|\uparrow \,\downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \,\uparrow \right\rangle {\Big )}{\Big |}\,{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0}^{0}\,{\Big |}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}-{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}{\Big )}\end{aligned}}

Il tripletto ha $j=1$ $j=1$ ed è rappresentato da stati simmetrici, mentre il singoletto è antisimmetrico. Questo particolare sarà rilevante in seguito.

La relazione tra le diverse descrizioni è:

{\boldsymbol {\Psi }}_{j',j'',j}^{m}=\sum _{m',m''}C_{j',j''}(j\,m,m'\,m''){\boldsymbol {\Psi }}_{j',j''}^{m',m''}

$C_{j',j''}(j\,m,m'\,m'')$ $C_{j',j''}(j\,m,m'\,m'')$ sono detti coefficienti di Clebsh-Gordan e si trovano tabulati un po' ovunque; questo sono diversi da zero se e solo se $m'+m''=m$ $m'+m''=m$ . L'altra caratteristica importante è che $m',m''$ $m',m''$ sono bloccati: infatti ognuno ha la propria scala e, inoltre, la loro somma deve sempre essere uguale a $m$ $m$ .

Possiamo usare gli stati del tripletto per vedere, al volo, come poter ricavare, senza tavole, i coefficienti di Clebsh-Gordan. Partendo dallo stato più alto del tripletto ${\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{1}$ ${\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{1}$ , scendiamo con l'operatore di scala $J_{-}=J_{-}'+J_{-}''$ $J_{-}=J_{-}'+J_{-}''$ :

J_{-}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{1}=\hbar {\sqrt {1(1+1)-1+1}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0}=\hbar {\sqrt {2}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0}

Sfruttando invece l'altra descrizione:

J_{-}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}=J_{-}'{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}+J_{-}''{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}=\hbar {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+1\right)-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}+\hbar {\sqrt {1}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}

J_{-}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}=J_{-}'{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}+J_{-}''{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}=\hbar {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+1\right)-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}+\hbar {\sqrt {1}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}

Uguagliando le due descrizioni otteniamo lo stato con $m=0$ $m=0$ del tripletto:

{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}

Da questo possiamo direttamente ottenere lo stato di singoletto, sapendo che tutti questi stati sono ortogonali tra loro; poiché quindi $\left({\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0},{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0}^{o}\right)=0$ $\left({\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1}^{0},{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0}^{o}\right)=0$ si ottiene immediatamente lo stato di singoletto:

{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\boldsymbol {\Psi }}_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}

Per l'ultimo stato del tripletto si sfrutta ancora una volta l'operatore di scala ottenendo il risultato richiesto. Tutto questo ovviamente è macchinoso e totalmente inutile in quanto qualcuno ha già tabulato i coefficienti di Clebsh-Gordan molto tempo fa e le tavole si trovano facilmente sul web. La riportiamo nelle appendici.

Non ci resta che dimostrare il range di valori che $j$ $j$ può assumere. Iniziamo col considerare i range di $m',m''$ $m',m''$ :

\left.{\begin{aligned}&-j'\leq m'\leq j'\\&-j''\leq m''\leq j''\end{aligned}}\right\}m=m'+m''

Ponendo $m'=m-m''$ $m'=m-m''$ , questo avrà un diverso range:

\max(-j',m-j'')\leq m'\leq \min(j',m+j'')

Nello stato massimo vale $m=j'+j''$ $m=j'+j''$ e avremo quindi:

{\begin{aligned}\max(-j',j'+j''-j'')\leq &m'\leq \min(j',j'+j''+j'')\\j'\leq &m'\leq j'\end{aligned}}

Otteniamo che $m'=j'$ $m'=j'$ , che è vero per lo stato massimo. A questo punto decrementiamo $m=j'+j''-1$ $m=j'+j''-1$ , cambierà anche il range di $m'$ $m'$ :

{\begin{aligned}\max(-j',\,j'+j''-1-j'')\leq &m'\leq \min(j',j'+j''-1+j'')\\j'-1\leq &m'\leq j'\end{aligned}}

Notiamo che i valori che $m'$ $m'$ può assumere adesso sono due: ogni volta che decrementiamo $m$ $m$ , si allarga di uno il range di $m'$ $m'$ . Questo algoritmo continua fino a fermarsi, e ci sono due condizioni per far fermare la discesa:

\left.{\begin{aligned}&m-j''=-j'\\&m+j''=j'\end{aligned}}\right\}m=\left\{{\begin{aligned}&j'-j''\\&j''-j'\end{aligned}}\right\}|j'-j''|

Abbiamo dimostrato ciò che volevamo dimostrare. Quindi, per ogni $j$ $j$ ci sono $2j+1$ $2j+1$ stati in $m$ $m$ : possiamo contare quanti stati totali ci sono (posto $j'\geq j''$ $j'\geq j''$ ):

\sum _{j=j'-j''}^{j'+j''}(2j+1)=2\sum _{j=0}^{j'+j''}j-2\sum _{j=0}^{j'-j''}j+\sum _{j=j'-j''}^{j'+j''}1=(2j'+1)(2j''+1)

C'è una perfetta simmetria in $j',j''$ $j',j''$ per quanto riguarda il numero totale di stati ammessi.

Ultimo appunto: anche i coefficienti di Clebsh-Gordana soddisfano una propria regola di simmetria: vale infatti

C_{j'\,j''}(jm,m'm'')=(-1)^{j'+j''-j}C_{j''\,j'}(jm,m''m')

Sotto inversione degli indici mantengono o invertono il segno in base al valore di $j'+j''-j$ $j'+j''-j$ .