Cosa succede quando abbiamo due diversi momenti angolari
(come ad esempio momento angolare orbitale e spin)? Abbiamo due descrizioni possibili del nostro sistema, che corrispondono a due diverse basi nello spazio di Hilbert su cui espandere gli stati del problema. Una è la base
, che possiamo rappresentare come
o, in notazione di Dirac,
, mentre l'altra descrizione possibile è tramite
, con
. Ci aspettiamo che si possa in qualche modo passare da una rappresentazione all'altra e che siano entrambe valide.
Poiché vale
, i due momenti angolari hanno autostati comuni, nonostante ognuno abbia i propri autovalori e le proprie proiezione sull'asse
. Possiamo scrivere le due rappresentazioni come:

La domanda fondamentale è: quali
sono ammessi? La risposta è che
può assumere i seguenti valori:

Dimostreremo a breve questa regola. Per esempio, se una particella ha
, avremo due possibili valori:
. La proiezione
, ovvero l'autovalore di
, dipende ovviamente da
, in quanto assume valori
. Queste regole valgono per tutti i momenti angolari, quanti ce sono e di che tipo non conta. Se consideriamo un sistema di due spin con
abbiamo 4 stati possibili:

Il tripletto ha
ed è rappresentato da stati simmetrici, mentre il singoletto è antisimmetrico. Questo particolare sarà rilevante in seguito.
La relazione tra le diverse descrizioni è:

sono detti coefficienti di Clebsh-Gordan e si trovano tabulati un po' ovunque; questo sono diversi da zero se e solo se
. L'altra caratteristica importante è che
sono bloccati: infatti ognuno ha la propria scala e, inoltre, la loro somma deve sempre essere uguale a
.
Possiamo usare gli stati del tripletto per vedere, al volo, come poter ricavare, senza tavole, i coefficienti di Clebsh-Gordan. Partendo dallo stato più alto del tripletto
, scendiamo con l'operatore di scala
:

Sfruttando invece l'altra descrizione:

Uguagliando le due descrizioni otteniamo lo stato con
del tripletto:

Da questo possiamo direttamente ottenere lo stato di singoletto, sapendo che tutti questi stati sono ortogonali tra loro; poiché quindi
si ottiene immediatamente lo stato di singoletto:

Per l'ultimo stato del tripletto si sfrutta ancora una volta l'operatore di scala ottenendo il risultato richiesto. Tutto questo ovviamente è macchinoso e totalmente inutile in quanto qualcuno ha già tabulato i coefficienti di Clebsh-Gordan molto tempo fa e le tavole si trovano facilmente sul web. La riportiamo nelle appendici.
Non ci resta che dimostrare il range di valori che
può assumere. Iniziamo col considerare i range di
:

Ponendo
, questo avrà un diverso range:

Nello stato massimo vale
e avremo quindi:

Otteniamo che
, che è vero per lo stato massimo. A questo punto decrementiamo
, cambierà anche il range di
:

Notiamo che i valori che
può assumere adesso sono due: ogni volta che decrementiamo
, si allarga di uno il range di
. Questo algoritmo continua fino a fermarsi, e ci sono due condizioni per far fermare la discesa:

Abbiamo dimostrato ciò che volevamo dimostrare. Quindi, per ogni
ci sono
stati in
: possiamo contare quanti stati totali ci sono (posto
):

C'è una perfetta simmetria in
per quanto riguarda il numero totale di stati ammessi.
Ultimo appunto: anche i coefficienti di Clebsh-Gordana soddisfano una propria regola di simmetria: vale infatti

Sotto inversione degli indici mantengono o invertono il segno in base al valore di
.