Somma di momenti angolari

Cosa succede quando abbiamo due diversi momenti angolari (come ad esempio momento angolare orbitale e spin)? Abbiamo due descrizioni possibili del nostro sistema, che corrispondono a due diverse basi nello spazio di Hilbert su cui espandere gli stati del problema. Una è la base , che possiamo rappresentare come o, in notazione di Dirac, , mentre l'altra descrizione possibile è tramite , con . Ci aspettiamo che si possa in qualche modo passare da una rappresentazione all'altra e che siano entrambe valide.

Poiché vale , i due momenti angolari hanno autostati comuni, nonostante ognuno abbia i propri autovalori e le proprie proiezione sull'asse . Possiamo scrivere le due rappresentazioni come:

La domanda fondamentale è: quali sono ammessi? La risposta è che può assumere i seguenti valori:

Dimostreremo a breve questa regola. Per esempio, se una particella ha , avremo due possibili valori: . La proiezione , ovvero l'autovalore di , dipende ovviamente da , in quanto assume valori . Queste regole valgono per tutti i momenti angolari, quanti ce sono e di che tipo non conta. Se consideriamo un sistema di due spin con abbiamo 4 stati possibili:

Il tripletto ha ed è rappresentato da stati simmetrici, mentre il singoletto è antisimmetrico. Questo particolare sarà rilevante in seguito.

La relazione tra le diverse descrizioni è:

sono detti coefficienti di Clebsh-Gordan e si trovano tabulati un po' ovunque; questo sono diversi da zero se e solo se . L'altra caratteristica importante è che sono bloccati: infatti ognuno ha la propria scala e, inoltre, la loro somma deve sempre essere uguale a .

Possiamo usare gli stati del tripletto per vedere, al volo, come poter ricavare, senza tavole, i coefficienti di Clebsh-Gordan. Partendo dallo stato più alto del tripletto , scendiamo con l'operatore di scala :

Sfruttando invece l'altra descrizione:

Uguagliando le due descrizioni otteniamo lo stato con del tripletto:

Da questo possiamo direttamente ottenere lo stato di singoletto, sapendo che tutti questi stati sono ortogonali tra loro; poiché quindi si ottiene immediatamente lo stato di singoletto:

Per l'ultimo stato del tripletto si sfrutta ancora una volta l'operatore di scala ottenendo il risultato richiesto. Tutto questo ovviamente è macchinoso e totalmente inutile in quanto qualcuno ha già tabulato i coefficienti di Clebsh-Gordan molto tempo fa e le tavole si trovano facilmente sul web. La riportiamo nelle appendici.

Non ci resta che dimostrare il range di valori che può assumere. Iniziamo col considerare i range di :

Ponendo , questo avrà un diverso range:

Nello stato massimo vale e avremo quindi:

Otteniamo che , che è vero per lo stato massimo. A questo punto decrementiamo , cambierà anche il range di :

Notiamo che i valori che può assumere adesso sono due: ogni volta che decrementiamo , si allarga di uno il range di . Questo algoritmo continua fino a fermarsi, e ci sono due condizioni per far fermare la discesa:

Abbiamo dimostrato ciò che volevamo dimostrare. Quindi, per ogni ci sono stati in : possiamo contare quanti stati totali ci sono (posto ):

C'è una perfetta simmetria in per quanto riguarda il numero totale di stati ammessi.

Ultimo appunto: anche i coefficienti di Clebsh-Gordana soddisfano una propria regola di simmetria: vale infatti

Sotto inversione degli indici mantengono o invertono il segno in base al valore di .

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