Matrici di Pauli, esperimento di Stern-Gerlach

Matrici di Pauli[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo solo stati a spin ; si definisce:

Dove viene chiamata matrice di Pauli. Per calcolare le matrici di Pauli si calcolano uno per uno i vari prodotti scalari, ricordando che la proiezione può assumere solo valori . Le matrici di Pauli sono 3, una per ogni componente di . Lo stato a sinistra del prodotto scalare indica la riga, quello a destra la colonna. le tre matrici di Pauli sono:

Per calcolare le matrici si sfruttano gli operatori che forniscono le matrici e poi si ricavano queste. Essendo i calcoli semplici prodotti scalari, per di più normalizzati, non forniamo i calcoli delle matrici.

Parliamo però della loro funzione. Ricordiamo che genera le rotazioni, che abbiamo scritto come . Possiamo sempre sviluppare uno stato su un set completo, quindi possiamo scrivere:

Quindi le matrici di Pauli sono i generatori delle rotazioni per gli stati a spin . Questi stati sono detti spinori e si comportano in modo strano, come vedremo meglio in seguito.

Queste matrici formano un gruppo , matrici unitarie a determinante unitario 2x2, che rispettano l'algebra di Lie. Le matrici di Pauli sono tutte a traccia nulla e sono hermitiane.

Esperimento di Stern-Gerlach[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo visto come è stato all'inizio teorizzato lo spin, come la teoria ammetta la sua esistenza e come calcolarlo. Non resta che vedere come misurarlo sperimentalmente. Uno degli esperimenti più famosi in questo ambito è l'esperimento di Stern e Gerlach, effettuato nel 1922, addirittura prima della teorizzazione dello spin da parte di Goudsmith e Uhlenbeck.

Questo esperimento sfrutta l'interazione tra il momento angolare intrinseco di un sistema e un campo magnetico esterno. Consideriamo un campo del tipo ; poniamo . Le ipotesi sono che e che abbia solo componente lungo l'asse . Consideriamo atomi globalmente neutri, così che non risentano della forza di Lorentz: per questi sarà presente un'hamiltoniana di interazione , dove e può riferirsi a un solo atomo o a un intero fascio. Avremo quindi un'hamiltoniana del tipo:

Studiamo il moto macroscopico sfruttando le equazioni di Ehrenfest, in particolare la seconda . Se non vi fosse variazione spaziale nel campo magnetico non avremmo una forza agente sulle particelle; però, se questa variazione spaziale c'è, allora la forza agente dipenderà anche dallo spin della particelle stesse.

Guardiamo al gradiente ; sfruttiamo gli operatori di scala , tramite questi possiamo esprimere, ad esempio, . Riprendendo le equazioni di Ehrenfest:

Il termine può essere riscritto in termini degli operatori di scala. Questi compariranno allora nell'hamiltoniana. Se a questo punto studiamo l'evoluzione temporale del sistema, avremo che gli stati varieranno di una fase. Calcolando il prodotto scalare avremo delle fasi, nelle componenti , dovute agli opeeratori di scala da una parte, mentre una fase dall'altra. Queste fasi possono essere moltiplicate tra loro in modo da farne scomparire una e portare tutta la differenza delle due su un lato, ottenendo . Tuttavia, poiché per ipotesi è molto grande, questo è un termine altamente oscillante che, quindi, può essere trascurato nell'evoluzione temporale del sistema. Questo ci dice che tutti i contributi dovuti a e, quindi, delle componenti sono trascurabili e solo la componente indice sulla forza agente sul sistema e sulla sua evoluzione temporale.

Alla fine della fiera, costruendo un campo magnetico con le caratteristiche qui descritte e preso un fascio di atomi neutri che si muove in esso, il fascio si dividerà in base allo proiezione sull'asse dello spin del sistema.

Interazione spin-orbita[modifica | modifica wikitesto]

Come abbiamo visto all'inizio del capitolo 8, l'hamiltoniana di interazione tra campi magnetici e momento di spin corrisponde a un'interazione tra il momento angolare orbitale del sistema col suo spin, . Ci possono essere tuttavia diverse interazioni tra i momenti angolari di un sistema: ad esempio, nell'atomo di idrogeno, c'è l'interazione tra i momenti angolari orbitali dell'elettrone e del protone, o tra gli spin di entrambi (questa interazione è forte solo per brevissime distanze), o tra lo spin di uno e il momento angolare dell'altro. Insomma, ci sono diversi casi da poter considerare.

La cosa interessante è che, quando appaiono questi termini di interazione, l'hamiltoniana non commuta più con o con e quindi non sono più conservati i numeri quantici . Tuttavia, se consideriamo il momento angolare totale , il suo quadrato è , da cui possiamo ricavare . Posta così, l'hamiltoniana commuta con il momento angolare totale : dipendendo da termini quadratici, derivati da prodotti scalari, questi saranno inviaranti sotto rotazioni e quindi . In sintesi, quando entrano in gioco le interazioni tra i momenti angolari del sistema, vanno considerati come numeri quantistici quelli riferiti a e non dovuti ai singoli momenti angolari.

 PrecedenteSuccessivo