Spinori

Nota: c'è continuità implicita tra questo capitolo e il precedente; si è scelto di dividerlo in due per evitare di avere une trattazione eccessivamente lunga senza distinzioni, ma deve essere chiaro che il discorso è unico.

Consideriamo solo stati a spin ; come abbiamo visto, questi stati sono particolari: su di loro agisce il gruppo formato dalla matrici di Pauli. Chiameremo spinore la funzione d'onda del solo spin:

Sempre ricordando la possibilità di espandere su una base completa, in questo caso quella degli stati a spin semi intero, qualsiasi stato. Consideriamo una trasformazione dello stato:

Con operatore unitario nello spazio di Hilbert. Il rispettivo spinore si trasforma come segue:

Possiamo scriverlo semplicemente come un prodotto riga per colonna . L'operatore unitario in questo caso vogliamo che agisca come operatore di rotazione, quindi possiamo esprimerlo in funzione delle matrici di Pauli:

Che la realizzazione di una rotazione per uno spinore dipendesse dalle matrici di Pauli, tuttavia, già lo sapevamo dallo scorso capitolo. Potremo compiere una trasformazione finita semplicemente operando , in termini matriciali:

L'esponenziale di matrici, tuttavia, può risultare abbastanza fastidioso, per di più con operatori non lineari o che non commutano. Il caso delle matrici di Pauli tuttavia è particolarmente comodo: conosciamo già il commutatore ; a questo associamo l'anticommutatore:

Mettendoli in relazione:

In breve . Espandendo in serie l'esponenziale ci torna comodo:

Posto , il termine quadratico possiamo esprimerlo in funzione del versore angolare ; andando a sostituire la relazione ricavata da commutatore e anticommutatore:

Quindi estendendo l'esponenziale otteniamo la relazione:

Questa trasformazione è molto particolare: se compiamo una rotazione di attorno l'asse non torniamo al punto di prima! Lo spinore cambia segno. Magia.

Un'altra importante caratteristica delle matrici di Pauli è la relazione che le vede legate al tensore di Levi-Civita di rango 2:

Applicando questo a uno spinore qualsiasi:

Si definisce allora spinore covariante, e ha gli indici bassi rispetto alla sua versione controvariante (che ha gli indici alti):

Questa non è una differenza sottile o di poco conto: considerati due spinori, uno controvariante e uno covariante , il loro prodotto scalare è nullo:

A questo punto vediamo come si trasformano gli spinori covarianti. Avremo ovviamente , ma se moltiplichiamo entrambi i membri per il tensore di Levi-Civita (osserviamo al secondo passaggio che ):

Per le matrici di Pauli vale un'importante proprietà: , da cui , quindi i covarianti si trasformano con l'operatore , mentre i controvarianti con l'operatore :

Concludiamo con la parte più importante del discorso. Abbiamo visto che moltiplicare uno spinore per il tensore di Levi-Civita ci fa abbassare l'indice; se lo utilizziamo allora in maniera furba possiamo ottenere cose interessanti:

Il risultato finale ha gli indici muti (indici ripetuti si sommano): abbiamo ottenuto uno spinore scalare. Se consideriamo uno spinore con indici simmetrici, se lo moltiplichiamo per il tensore di Levi-Civita otterremo ovviamente zero ( è un tensore antisimmetrico). D'altro canto, uno spinore antisimmetrico può essere invece degradato sfruttando l'epsilon.

Sfruttando tutte queste nozioni, possiamo riscrivere in maniera più semplice e compatta la somma di momenti angolari utilizzando solo gli spinori:

Lo spinore a destra è di rango ; moltiplicandolo per il suo rango scenderà di 2:

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