Particelle identiche

Consideriamo uno stato che descrive più particelle come già visto nella scorsa sezione; se le due particelle sono identiche, possiamo considerare un operatore unitario che opera lo scambio tra le particelle:

Come abbiamo già visto, a seconda se sono bosoni o fermioni. Se passare alla funzione d'onda delle particelle basterà fare un prodotto scalare ; per il caso di due particelle avremo semplicemente due variabili da considerare. Tuttavia, lo stato non è autostato dell'operatore che esegue lo scambio. Quindi ci troveremo a dover simmetrizzare o antisimmetrizzare lo stato, e di conseguenza la funzione d'onda, nel caso di bosoni o fermioni:

Per due particelle la questione è risolta, ma nel caso in cui ci siano molte particelle le cose si complicano. In questi casi si utilizza l'approssimazione di Hartree: si introducono delle funzioni d'onda che risolvono la funzione di Schrödinger:

La somma si effettua nel caso in cui sia una variabile discreta (come ad esempio lo spin), mentre per variabili continue (come posizione e impulso) questa diventa un integrale. Con questa approssimazione la funzione d'onda ottenuta è fattorizzata per variabili:

Dove i pedici alle funzioni d'onda si riferiscono ai livelli di energia ottenuti dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger. Questa approssimazione ci fornisce quindi una funzione d'onda molto simile a quella che descriverebbe un gas quantistico, formato da tante particelle identiche non interagenti fra loro. Proprio per questo motivo ci sono dei limiti al suo utilizzo: nel caso dell'elio liquido, un sistema molto interagente, non può essere usata. Secondo ciò che abbiamo detto, quindi, per due particelle identiche la funzione d'onda sarà:

Possiamo ad esempio chiederci la probabilità che si trovi in una regione }} e in una regione , questa sarà:

Ovviamente lo stato è simmetrico o antisimmetrico a seconda del caso in cui abbiamo bosoni o fermioni; il prodotto scalare possiamo espanderlo come ; l'ultimo termine è presente solo se l'intersezione tra le due regioni non è nulla, altrimenti la probabilità richiesta sarà data da:

Quest'ultima espressione è molto utilizzata in fisica particellare quando si tratta il decadimento di particelle identiche.

Esempio (9.1)

La particella è una particella vettoriale neutra di spin (è quindi un bosone), non è stabile e decade in due pioni secondo la relazione

Nel decadimento vengono conservate la carica e il momento totale del sistema. I due pioni possono essere quindi anche due neutri che mantengono la carica totale conservata. Tutti i pioni hanno spin nullo; il decadimento di particelle deve essere descritto da una qualche dinamica che sarà presente come termine nell'hamiltoniana del sistema. Sappiamo che resta invariata dopo una rotazione e che il momento angolare totale del sistema deve quindi conservarsi. Il momento totale della particella iniziale sarà (in unità di ) dove abbiamo supposto che la particella sia ferma. Le due particelle figlie del processo, hanno entrambe spin ma sono in movimento, si suppone quindi che entrambe abbiano un momento angolare orbitale tale la funzione d'onda totale abbia ; la simmetria della funzione d'onda orbitale sotto parità è , di conseguenza sarà sotto scambio di particelle.

A tal proposito, il decadimento in due fornisce una funzione d'onda simmetrica sotto scambio di particelle, ma nel caso di bosoni non ha senso che si ottenga un fattore dopo lo scambio: infatti in natura non si verifica il decadimento di in due

 

Nel caso di fermioni, per utilizzare l'approssimazione di Hartree si ricorre al determinante di Slater: la funzione d'onda sarà data da:

Se al livello sono presenti due fermioni con gli stessi numeri quantici, il determinante di Slater è nullo, concordemente col principio di Pauli. Il principio di Pauli ci fornisce anche la molteplicità di elettroni presenti un livello atomico: per ogni ci sono valori di , e ci possono essere solo due elettroni che hanno i tre numeri quantici uguali: di conseguenza, per ogni livello, il numero di elettroni presenti sarà . Infatti, se ci saranno elettroni, cosa vera che si verifica nel livello .

Nel caso di bosoni, invece, tutti i segni negativi nel determinante di Slater diventano positivi; non c'è limite, per i bosoni, di occupazione di un livello energetico: in meccanica statistica quantistica si verifica infatti la condensazione di Bose ovvero, nel limite , per determinati sistemi la cui hamiltoniana rispetta determinate proprietà si verifica che si condensano un numero macroscopico di bosoni nel livello fondamentale.

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