Ottenere uno stato richiesto

In questa sezione e nella prossima tratteremo e chiuderemo il discorso sulle particelle identiche, che in meccanica quantistica, oltre a essere leggermente complicato a un primo approccio, è la chiave per la soluzione di problemi e lo scrivere funzioni d'onda e stati associati a più particelle.

Vogliamo costruire uno stato con spin definito a partire da un generico spinore . Ovviamente sarà , ma la domanda chiave da porci adesso è: cosa succede se scambiamo le due particelle?

Questa domanda così innocente, che in meccanica classica susciterebbe reazioni del tipo Ma che domande sono?!, in meccanica quantistica ha intriso tutto il significato del mondo microscopico. Per quanto abbiamo detto a inizio corso, non si può seguire la traiettoria di una qualsiasi particella, di conseguenza, quando se ne hanno due o più identiche, non si possono etichettare e distinguere. Vogliamo quindi una regola che ci faccia passare da uno stato (che descrive posizione e massa delle due particelle) a uno stato in cui abbiamo invertito le particelle. Ovviamente, avremo una cosa del genere:

Semplicemente sarà . Quindi, sotto scambio di particelle, si presenta una fase sullo stato (e quindi sulla funzione d'onda) che può essere . Si distinguono due classi di particelle in base al valore che assume questa fase:

  • se avremo a che fare con dei bosoni;
  • se avremo a che fare con dei fermioni.

Alle due classi di particelle corrispondono due diverse statistiche, nel caso di sistemi ad alti numeri di particelle, che vedremo attentamente dopo. Ora, messa così la cosa sarebbe un disastro: esistono due classi, ognuna con la propria fase e le proprie regole, ma non sappiamo distinguerle. Grazie al teorema di Pauli-Fierz di meccanica quantistica relativistica la fase ha a che fare con lo spin delle particelle: i bosoni hanno spin intero, i fermioni spin semi intero. Così è la natura e, ancora una volta, ringraziamo che sia tutto così semplice. Tra i bosoni ci sono i fotoni, le particelle , il famoso bosone di Higgs, ma anche i gluoni e i pioni; tra i fermioni ci sono gli elettroni, i nucleoni (protoni e neutroni), i barioni.

La questione dello scambio di particelle è anche inerente alla geometria del problema: nel caso di un gas di particelle unidimensionale (è assurdo, sì, ma immaginate tanti elettroni in fila uno dietro l'altro, l'immaginazione è molto potente) non c'è alcun modo di scambiare tra loro due fermioni; per un gas bidimensionale lo scambio può avvenire rispettando determinati vincoli: questi stessi vincoli fanno sì che esistano altre particelle oltre ai bosoni e ai fermioni, chiamate anyoni, che possono assumere una fase qualsiasi ; esisteranno di conseguenza altre statistiche che descrivono il comportamento di queste particelle. La fase, tutta, non cambia l'identità magnetica dello spin delle particelle. Inutile a dirlo, in caso di gas tridimensionali, lo scambio si può fare.

Ora, per avere uno stato con spin desiderato dobbiamo partire dallo spinore di rango e decrementarlo con il tensore di Levi-Civita. Il risultante avrà un rango (dove indica il numero di tensori a moltiplicare lo spinore) che dovrà quindi essere uguale a . Il caso interessante è quando le particelle hanno spin uguale, , allora avremo che , da cui ricaviamo il numero di tensori di Levi-Civita che dobbiamo far agire sullo spinore per avere uno stato a spin richiesto: .

Sulla base di tutto questo ragionamento, alla fine del procedimento dovremo avere una fase a moltiplicare lo stato finale. Ricordando che , la stessa cosa avverrà nel caso di più indici. Quando andremo a scambiare le due particelle, ovvero a invertire l'ordine degli indici, uscirà fuori un segno negativo. Quindi, ad ogni azione di compare un cambio di segno e, alla fine del processo, sarà .

Tuttavia, la funzione dello spin non è tutta la storia del sistema: ci saranno anche i termini orbitali funzioni della posizione, ovvero . Cosa significa per la parte orbitale scambiare due particelle? Questo si traduce con l'eseguire un'operazione di parità (ovvero inversione degli assi). In totale, dopo tutto il procedimento di inversione, la funzione d'onda finale dovrà avere una fase davanti. Questo è assimilabile a un postulato della meccanica quantistica, non ci sono contestazioni o patteggiamenti.

Consideriamo due fermioni il cui stato è descrivibile come dove può essere una qualsiasi variabile associata alla particella; la funzione d'onda che realizza lo stato sarà:

Osserviamo essere antisimmetrica: i bosoni sono descritti da stati e funzioni d'onda simmetrici, mentre i fermioni sono descritti da stati e funzioni d'onda antisimmetrici. Questo passaggio può essere effettuato sfruttando l'approssimazione di Hartree che vedremo meglio nella prossima sezione: si fattorizza la funzione d'onda in base alle variabili di ognuna delle particelle. La conseguenza immediata è che se due fermioni hanno gli stessi numeri quantici la funzione d'onda è nulla: questa è una diversa formulazione del principio di esclusione di Pauli, che possiamo enunciare come segue: per due elettroni (o fermioni in generale) non è possibile avere gli stessi numeri quantici nello stesso sistema fisico. La soluzione quindi deve essere che, per ogni stato, ci possono essere al massimo due fermioni, ognuno con proiezione opposta tra loro.

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