Isospin

Il neutrone è stato scoperto solo nel 1932, ultima tra le particelle elementari che appaiono in un atomo. La massa del neutrone, si vide subito, è quasi uguale a quella del protone, la differenza è davvero piccola; si pensò quindi alla possibilità che esistesse una trasformazione generica che permettesse di trasformare un neutrone in un protone e viceversa. Una trasformazione simile, che possiamo considerare una simmetria, non può essere una simmetria della carica elettrica, essendo il neutrone neutro e il protone carico, e neanche quindi dell'interazione elettromagnetica, per lo stesso motivo. Tuttavia può essere una simmetria legata all'interazione forte: per esserlo, l'interazione forte protone-protone, neutrone-neutrone e protone-neutrone deve essere uguale e si vide che è molto simile. Anche, l'energia dello stato fondamentale del trizio è così vicina a quella dell'elio che gli permette di decadere proprio nell'isotopo .

Deve esistere quindi una trasformazione del tipo:

Dove è una matrice 2x2 che non agisce sulle coordinate spaziali del doppietto neutrone-protone, a cui associamo un operatore unitario nello spazio di Hilbert che possiamo scrivere come:

Dove è un numero molto piccolo e è il generatore della simmetria, per il quale valgono le regole di commutazione già note per gli altri generatori di rotazioni, ovvero , senza la costante , in quanto non è un momento angolare. Si possono anche in questo caso definire gli operatori , che agiscono sullo stato generico come (il pedice indica la particella: per il protone, per il neutrone):

Si chiama isospin e, come abbiamo visto, permette di trasformare un neutrone in un protone e viceversa; il protone ha proiezione di isospin , il neutrone . Possiamo osservare anche che ogni nucleone (protone o neutrone) ha una carica elettrica pari a . Nel decadimento di particelle anche l'isospin viene conservato: a ogni particella elementare studiata in fisica delle particelle è associato un proprio isospin. Ci sono altre caratteristiche delle particelle, come la stranezza, che però non tratteremo in questo corso.

Esempio (9.2)

Quelle poche cose che abbiamo detto possiamo capirle meglio con un esempio. La particella è un barione di spin ; è altamente instabile con doppia carica positiva e fa parte di un decupletto di particelle. Quando decade viene conservata la carica, viene conservato il momento angolare e, sembrerebbe, anche l'isospin. L'isospin di è con proiezione ; le altre particelle della famiglia sono e hanno tutte lo stesso isospin, ma con proiezione diversa per ognuna, rispettivamente .

decade in un pione positivo e un protone (cioè ). Il pione positivo ha spin 0 e isospin 1, mentre il protone ha sia spin che isospin : da una semplice occhiata, quindi, risulta conservato l'isospin, mentre deve evidentemente esserci un termine da qualche parte per la conservazione del momento angolare.

Con le stesse regole la particella può decadere o in un pione positivo e un neutrone () o in un pione neutro e un protone (). Questa volta le cose sono diverse però: il neutrone sappiamo avere , mentre . Osservando al volo, sono rispettate le conservazioni di carica, momento angolare e isospin.

Si possono sfruttare i coefficienti di Clebsh-Gordan, dove al posto di e di , quindi anche al posto di , si mettono i termini di isospin, per stabilire il rapporto tra le ampiezze dei diversi decadimenti; è indubbio che questi processi siano governati da qualche dinamica, esprimibile per mezzo di un fattore ; questo fattore tuttavia è molto difficile da stabilire, però si osserva che è lo stesso per i decadimenti della stessa particella, moltiplicato per il relativo coefficiente di Clebsh-Gordan di volta in volta. Quindi la stima tra le ampiezze delle due transizioni sarà:

Con lo stesso ragionamento si vede che la probabilità che , di cui abbiamo parlato prima, è 1 (dalla tavola dei coefficienti), per cui non ci sono altri modi con cui può decadere. Sperimentalmente i risultati concordano con queste previsioni.

 
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