Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein

Consideriamo un gas di particelle identiche, vogliamo calcolare la probabilità di avere particelle nel livello di energia ; l'energia totale del sistema sarà , dalla meccanica statistica la probabilità sarà:

Dove è il potenziale chimico del sistema. Il numero di particelle medio per livello energetico è la media termodinamica:

Per i fermioni la somma sarà solo su per via del principio di Pauli, che limita il numero di fermioni con gli stessi numeri quantici in un livello a 1; per i bosoni sarà invece fino al numero totale di particelle, che possiamo prendere così grande da considerare infinito, in questo caso:

Otteniamo quindi le due famose distribuzioni, quella di Fermi-Dirac per i fermioni e quella di Bose-Einstein per i bosoni:

Queste distribuzioni spiegano anche lo spettro del corpo nero, in particolare la formula di Plack: il termine da lui aggiunto corrisponde alla distribuzione di Bose-Einstein per i fotoni (che sono per l'appunto bosoni) che hanno energia e potenziale chimico nullo .

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