Principio di indeterminazione per osservabili qualsiasi

Si può estendere il principio di indeterminazione a qualunque coppia di osservabili il cui commutatore non è nullo. Supponiamo due osservabili, a cui è associato un operatore hermitiano, tali che . Definiamo i valori di aspettazione e le incertezze dei due come:

Dimostreremo adesso che vale la seguente disuguaglianza, in cui l'uguaglianza la si ha solo nello stato di minima indeterminazione:

Per dimostrarla iniziamo col definire due nuove variabili e ; con una veloce verifica troviamo che , lo stesso per l'altro operatore . Possiamo inoltre verificare che:

(ricordiamo che i valori di aspettazione sono due numeri reali, e tutti i reali commutano con operatori lineari). Definiamo anche e , con unità immaginaria e . Il fatto che siano due operatori hermitiani non implica che lo sia anche , come possiamo facilmente notare:

Esplicitando:

è una funzione di variabile reale positiva o nulla, essendo un prodotto scalare; presenta quindi un minimo ricavabile ponendo , avremo

(si può verificare che è un minimo calcolando la derivata seconda ). Poiché deve essere un reale, ne ricaviamo che è un numero immaginario puro. Calcolando il valore della funzione nel minimo otteniamo la tesi:

Applicando il caso particolare in cui otteniamo il principio di indeterminazione classico . Possiamo ora cercare lo stato di minima incertezza per questo caso particolare; consideriamo il caso unidimensionale (il caso tridimensionale è uguale), in cui avremo ; ricordando il commutatore notevole , riapplicando il ragionamento precedente lo stato di minima incertezza deve soddisfare la condizione , il che implica . Nel nostro caso , allora:

Ricordando . Poniamo le per ipotesi della forma:

Svolgendo le derivate che compaiono, otterremo:

(vale ). Integrando per separazione di variabili:

Compiendo i calcoli e tralasciando le costanti di integrazione (che vanno tutte a finire poi nella normalizzazione), otteniamo

Troviamo allora che lo stato di minima incertezza è un pacchetto d'onda gaussiano:

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