Varie ed eventuali sugli stati

Operatori lineari[modifica | modifica wikitesto]

Gli operatori lineari agiscono sui vettori dello spazio di Hilbert seguendo le proprietà qui elencate:

  1. ;
  2. ;
  3. (è la 3 riscritta in notazione di Dirac) ;
  4. ;
  5. ;

L'elemento di matrice del prodotto di due operatori si ottiene tramite la moltiplicazione righe per colonne.

Si definisce il valore di aspettazione della misura di un operatore su uno stato come:

Possiamo riscriverla come ; tirando fuori il valore dell'operatore otteniamo:

Da questa ricaviamo anche che è l'ampiezza di probabilità che il risultato della misura sia proprio .

Il valore di aspettazione di un operatore al quadrato è sempre positivo:

Possiamo anche parlare di traccia di un operatore, definita come:

Ovvero corrisponde alla somma degli elementi sulla diagonale. Vale ; se quindi un operatore è hermitiano , la traccia è un numero reale, così come tutti gli elementi della diagonale, che corrispondono in questo caso agli autovalori dell'operatore.

Notazione di Dirac[modifica | modifica wikitesto]

Nella notazione di Dirac i vettori (e stati in generale) vengono indicati con , che si chiama ket. Un prodotto scalare è espresso come il prodotto tra un bra e un ket e viene chiamato bra-ket:

Per prodotti in cui compare un operatore, questo deve sempre agire sul ket: è questo il limite e il vantaggio della notazione di Dirac, che a volte può essere conveniente usare, altre volte no. Un esempio in cui non è conveniente usarla è la proprietà 4 degli operatori lineari prima elencata.

Diadi[modifica | modifica wikitesto]

A partire dagli stati vettori si possono creare degli operatori lineari. Dati due stati vettori, si definisce diade:

Usando la notazione di Dirac le diadi sono molto comode da scrivere:

Le diadi hanno le seguenti proprietà:

  1. ;
  2. ;
  3. : questi sono proiettori i cui autovalori sono quindi o 0 o 1, rispettano la condizione ;
  4. .

Le diadi possono essere usate per scrivere la rappresentazione spettrale dell'operatore: se è un operatore hermitiano con autovalori e autovettori , con set completo, allora possiamo rappresentare l'operatore come:

Allo stesso modo, se invece dell'operatore abbiamo una funzione dell'operatore questa si scriverà:

Matrice densità[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che il nostro stato fisico sia una sovrapposizione coerente di stati:

La probabilità che il sistema collassi su uno di questi stati è . Diciamo che non sappiamo su quale stato collasserà il nostro sistema, ma conosciamo tutti gli stati di cui è una sovrapposizione e anche la probabilità che collassi su uno di questi, ad esempio . Osserviamo che questi stati possibili non sono per forza ortogonali tra loro, cosa che invece è necessari per gli stati . Introduciamo allora la matrice densità:

Il sistema è in questo caso costituito da una miscela di stati, non da una sovrapposizione coerente. Ci possiamo allora chiedere quale sia il valore di aspettazione di un operatore su questa miscela; questo sarà il valore di aspettazione di ogni stato pesato con la propria probabilità, da cui:

La matrice densità ha traccia unitaria.

Esempio (6.1)

Consideriamo una miscela di stati con le rispettive probabilità:

Vogliamo trovare il valor medio dell'operatore così definito:

Ovviamente, valor medio e valore aspettato coincidono. Sfruttiamo la matrice densità ; bisogna moltiplicare ogni stato per il suo trasposto e poi pesarlo con la propria probabilità, ovvero:

Ripetendo questo per gli altri due stati si ottengono altre due matrixi ; sommandole otteniamo la matrice densità:

A questo punto non resta che calcolare .

 
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