Principi degli spazi di Hilbert

Indichiamo con lo spazio di Hilbert. Useremo questo simbolo ben poco in tutto il testo. Siano due vettori nello spazio di Hilbert, allora:

  1. è un vettore nello spazio di Hilbert;
  2. ;
  3. .

Sia un numero complesso:

  1. ;
  2. ;
  3. .

È definito un elemento neutro tale che:

  1. ;
  2. .

È definito il concetto di norma; principio generale :

  1. ;
  2. ;
  3. .

I vettori non sono funzioni d'onda.

Indipendenza lineare[modifica | modifica wikitesto]

Siano vettori nello spazio di Hilbert, se

è vero solo per , allora diciamo che sono vettori linearmente indipendenti e si possono combinare per formare set completi di vettori.

C'è un teorema matematico, di cui non forniremo la dimostrazione, in cui si dimostra che se , allora vettori linearmente indipendenti formano un set completo. Nella nostra teoria .

Un altro postulato della meccanica quantistica è che, dato un set completo nello spazio di Hilbert, questo si trova in corrispondenza biunivoca con un osservabile fisico; l'indice è quindi continuo. Ogni sistema fisico si trova in uno stato e la misura di un'osservabile lo proietta sullo stato tale che:

Il risultato della misura è l'autovalore .

Stati vettori[modifica | modifica wikitesto]

Posto vettore nello spazio di Hilbert, possiamo scriverlo come sovrapposizione su un set completo di vettori:

Da questa ricaviamo anche che , essendo tutti i ortogonali tra loro. Quindi, se il sistema è ortonormale, possiamo scrivere:

Se il sistema non è normalizzato, possiamo procedere a renderlo tale:

Da cui ricaviamo che

Presa questa come "definizione" per un generico stato, possiamo allora scrivere il prodotto scalare tra due stati nella sua forma generale:

Probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo detto che un sistema fisico che si trova nello stato , dopo la misura di un'osservabile, "collassa" su uno stato . È lecito quindi chiedersi con quale probabilità da si finisce in . Ricollegandoci all'ipotesi di Born:

Ricordando che . Da questa possiamo anche dire qualcosa riguardo le funzioni d'onda: supponendo che queste siano funzione della posizione, allora potremo scrivere:

Dove gli stati sono gli autovettori dell'operatore posizione, con autovalori la posizione stessa. Quindi, la regola di Born è anche esprimibile semplicemente come:

Affinché sia una probabilità deve ovviamente valere che , ovvero che . In notazione di Dirac (che accenneremo nella prossima sezione) questa scrittura è molto elegante:

Questa, se estesa, porta alla relazione di completezza .

Osserviamo che se moltiplichiamo uno stato vettore generico per un numero complesso di modulo unitario (ovvero gli cambiamo semplicemente fase) tutte le regole riguardo la probabilità dette finora non cambiano: questo vuol dire che gli stati vettori sono in corrispondenza biunivoca con i raggi dello spazio di Hilbert (oppure possiamo semplicemente dire che gli stati vettori sono dei raggi nello spazio di Hilbert, è la stessa cosa). Questa caratteristica tornerà molto utile in futuro.

Stati vettori continui[modifica | modifica wikitesto]

Quando parliamo di un set completo in un sistema completo, passiamo da un indice discreto a un qualsiasi indice continuo . Immaginiamo questi valori siano discreti in un piccolo intervallo e siano . Se , avremo:

È utile normalizzare un set completo di vettori come:

Quindi un qualsiasi stato del tipo nel continuo diventa:

Allo stesso modo il prodotto scalare di due stati:

Un vettore di norma unitaria sarà quindi tale che:

Supponiamo per esempio di avere a che fare con la posizione, per cui ; la funzione d'onda dipendente dalla posizione, come già detto, sarà ; da questa il prodotto scalare tra due vettori è esprimibile anche attraverso le rispettive funzioni d'onda associate:

Se consideriamo quindi un vettore di norma unitaria, sarà , da cui , coerentemente con la regola di Born già discussa in precedenza.

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