Principi degli spazi di Hilbert

Indichiamo con $\mathbb {H}$$\mathbb {H}$ lo spazio di Hilbert. Useremo questo simbolo ben poco in tutto il testo. Siano ${\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}'$${\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}'$ due vettori nello spazio di Hilbert, allora:

1. ${\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}'$${\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}'$ è un vettore nello spazio di Hilbert;
2. ${\boldsymbol {\Psi }}+({\boldsymbol {\Psi }}'+{\boldsymbol {\Psi }}'')=({\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}')+{\boldsymbol {\Psi }}''$${\boldsymbol {\Psi }}+({\boldsymbol {\Psi }}'+{\boldsymbol {\Psi }}'')=({\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}')+{\boldsymbol {\Psi }}''$;
3. ${\boldsymbol {\Psi }}'+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}'$${\boldsymbol {\Psi }}'+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}'$.

Sia $\alpha \in \mathbb {C}$$\alpha \in \mathbb {C}$ un numero complesso:

1. $\alpha (\alpha '{\boldsymbol {\Psi }})=\alpha \alpha '{\boldsymbol {\Psi }}$$\alpha (\alpha '{\boldsymbol {\Psi }})=\alpha \alpha '{\boldsymbol {\Psi }}$;
2. $\alpha ({\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}')=\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha {\boldsymbol {\Psi }}'$$\alpha ({\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {\Psi }}')=\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha {\boldsymbol {\Psi }}'$;
3. $(\alpha +\alpha '){\boldsymbol {\Psi }}=\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}$$(\alpha +\alpha '){\boldsymbol {\Psi }}=\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}$.

È definito un elemento neutro ${\boldsymbol {0}}$${\boldsymbol {0}}$ tale che:

1. ${\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Psi }}$;
2. ${\boldsymbol {\Psi }}\cdot {\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}$${\boldsymbol {\Psi }}\cdot {\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}$.

È definito il concetto di norma; principio generale $({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }})\geq 0$$({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }})\geq 0$:

1. $({\boldsymbol {\Psi }}'',\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}'+\alpha {\boldsymbol {\Psi }})=\alpha '({\boldsymbol {\Psi }}'',{\boldsymbol {\Psi }}')+\alpha ({\boldsymbol {\Psi }}'',{\boldsymbol {\Psi }}')$$({\boldsymbol {\Psi }}'',\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}'+\alpha {\boldsymbol {\Psi }})=\alpha '({\boldsymbol {\Psi }}'',{\boldsymbol {\Psi }}')+\alpha ({\boldsymbol {\Psi }}'',{\boldsymbol {\Psi }}')$;
2. $(\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }}'')=\alpha ^{*}({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}'')+\alpha ^{'*}({\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }}'')$$(\alpha {\boldsymbol {\Psi }}+\alpha '{\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }}'')=\alpha ^{*}({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}'')+\alpha ^{'*}({\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }}'')$;
3. $({\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }})^{*}=({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')$$({\boldsymbol {\Psi }}',{\boldsymbol {\Psi }})^{*}=({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')$.

I vettori ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$ non sono funzioni d'onda.

Indipendenza lineare

Siano ${\boldsymbol {\Psi }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$${\boldsymbol {\Psi }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$ vettori nello spazio di Hilbert, se

$$\alpha _{1}{\boldsymbol {\Psi }}_{1}+\cdots +\alpha _{n}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}=0$$

$$\alpha _{1}{\boldsymbol {\Psi }}_{1}+\cdots +\alpha _{n}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}=0$$

è vero solo per $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}=0$$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}=0$, allora diciamo che ${\boldsymbol {\Psi }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$${\boldsymbol {\Psi }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$ sono vettori linearmente indipendenti e si possono combinare per formare set completi di vettori.

C'è un teorema matematico, di cui non forniremo la dimostrazione, in cui si dimostra che se $\dim \mathbb {H} =d$$\dim \mathbb {H} =d$, allora $d$$d$ vettori linearmente indipendenti formano un set completo. Nella nostra teoria $\dim \mathbb {H} =\infty$$\dim \mathbb {H} =\infty$.

Un altro postulato della meccanica quantistica è che, dato un set completo $\{{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\}$$\{{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\}$ nello spazio di Hilbert, questo si trova in corrispondenza biunivoca con un osservabile fisico; l'indice $i$$i$ è quindi continuo. Ogni sistema fisico si trova in uno stato ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$ e la misura di un'osservabile lo proietta sullo stato ${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$ tale che:

$$A{\boldsymbol {\Phi }}_{i}=a_{i}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

$$A{\boldsymbol {\Phi }}_{i}=a_{i}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

Il risultato della misura è l'autovalore $a_{i}$$a_{i}$.

Stati vettori

Posto ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$ vettore nello spazio di Hilbert, possiamo scriverlo come sovrapposizione su un set completo di vettori:

$${\boldsymbol {\Psi }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

$${\boldsymbol {\Psi }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

Da questa ricaviamo anche che $({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})=\sum _{i}\alpha _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{,}{\boldsymbol {\Phi }}_{j})=\alpha _{j}$$({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})=\sum _{i}\alpha _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{,}{\boldsymbol {\Phi }}_{j})=\alpha _{j}$, essendo tutti i ${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$ ortogonali tra loro. Quindi, se il sistema è ortonormale, possiamo scrivere:

${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{j=1}^{n}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{j}$${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{j=1}^{n}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{j}$

Se il sistema non è normalizzato, possiamo procedere a renderlo tale:

$$({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})=\sum _{i}\alpha _{i}\underbrace {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})} _{\delta _{ij}}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})=\alpha _{j}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})$$

$$({\boldsymbol {\Phi }},{\boldsymbol {\Psi }})=\sum _{i}\alpha _{i}\underbrace {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})} _{\delta _{ij}}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})=\alpha _{j}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})$$

Da cui ricaviamo che

$${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{i}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

$${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{i}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}$$

Presa questa come "definizione" per un generico stato, possiamo allora scrivere il prodotto scalare tra due stati nella sua forma generale:

$${\begin{aligned}({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')=&\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}')}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\,,\,{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{{\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{j}\right)=\\&\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}')^{*}}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})^{*}}}\,{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})=\sum _{j=1}^{n}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }}')^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')=&\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}')}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\,,\,{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{{\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}{\boldsymbol {\Phi }}_{j}\right)=\\&\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}')^{*}}{({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})^{*}}}\,{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})=\sum _{j=1}^{n}{\frac {({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }}')^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Psi }})}{({\boldsymbol {\Phi }}_{j},{\boldsymbol {\Phi }}_{j})}}\end{aligned}}$$

Probabilità

Abbiamo detto che un sistema fisico che si trova nello stato ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$, dopo la misura di un'osservabile, "collassa" su uno stato ${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$. È lecito quindi chiedersi con quale probabilità da ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$ si finisce in ${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$${\boldsymbol {\Phi }}_{i}$. Ricollegandoci all'ipotesi di Born:

$$P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})={\frac {|({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})|^{2}}{({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }})({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}$$

$$P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})={\frac {|({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})|^{2}}{({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }})({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Phi }}_{i})}}$$

Ricordando che $P(\psi (\mathbf {x} ))=|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d^{3}x$$P(\psi (\mathbf {x} ))=|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d^{3}x$. Da questa possiamo anche dire qualcosa riguardo le funzioni d'onda: supponendo che queste siano funzione della posizione, allora potremo scrivere:

$$\psi (\mathbf {x} )=({\boldsymbol {\Phi }}_{\mathbf {x} },{\boldsymbol {\Psi }})$$

$$\psi (\mathbf {x} )=({\boldsymbol {\Phi }}_{\mathbf {x} },{\boldsymbol {\Psi }})$$

Dove gli stati ${\boldsymbol {\Phi }}_{\mathbf {x} }$${\boldsymbol {\Phi }}_{\mathbf {x} }$ sono gli autovettori dell'operatore posizione, con autovalori la posizione stessa. Quindi, la regola di Born è anche esprimibile semplicemente come:

$$P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})=|({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}$$

$$P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})=|({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}$$

Affinché sia una probabilità deve ovviamente valere che $\sum _{i}P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})=1$$\sum _{i}P({\boldsymbol {\Psi }}\to {\boldsymbol {\Phi }}_{i})=1$, ovvero che $\sum _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})=1$$\sum _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }})=1$. In notazione di Dirac (che accenneremo nella prossima sezione) questa scrittura è molto elegante:

$$\sum _{i}\left\langle {\boldsymbol {\Psi }}\right|\left.{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\right\rangle \left\langle {\boldsymbol {\Phi }}_{i}\right|\left.{\boldsymbol {\Psi }}\right\rangle =1$$

$$\sum _{i}\left\langle {\boldsymbol {\Psi }}\right|\left.{\boldsymbol {\Phi }}_{i}\right\rangle \left\langle {\boldsymbol {\Phi }}_{i}\right|\left.{\boldsymbol {\Psi }}\right\rangle =1$$

Questa, se estesa, porta alla relazione di completezza $\left\langle {\boldsymbol {\Psi }}\right|\left.{\boldsymbol {\Psi }}\right\rangle =1$$\left\langle {\boldsymbol {\Psi }}\right|\left.{\boldsymbol {\Psi }}\right\rangle =1$.

Osserviamo che se moltiplichiamo uno stato vettore generico ${\boldsymbol {\Psi }}$${\boldsymbol {\Psi }}$ per un numero complesso di modulo unitario (ovvero gli cambiamo semplicemente fase) tutte le regole riguardo la probabilità dette finora non cambiano: questo vuol dire che gli stati vettori sono in corrispondenza biunivoca con i raggi dello spazio di Hilbert (oppure possiamo semplicemente dire che gli stati vettori sono dei raggi nello spazio di Hilbert, è la stessa cosa). Questa caratteristica tornerà molto utile in futuro.

Stati vettori continui

Quando parliamo di un set completo in un sistema completo, passiamo da un indice discreto $i$$i$ a un qualsiasi indice continuo $\xi$$\xi$. Immaginiamo questi valori siano discreti in un piccolo intervallo $(\xi ,\xi +d\xi )$$(\xi ,\xi +d\xi )$ e siano $\rho (\xi )d\xi$$\rho (\xi )d\xi$. Se $d\xi \to 0$$d\xi \to 0$, avremo:

$$\sum _{\xi }\to \int \rho (\xi )d\xi$$

$$\sum _{\xi }\to \int \rho (\xi )d\xi$$

È utile normalizzare un set completo di vettori come:

$$({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi '},{\boldsymbol {\Phi }}_{\xi })=\rho (\xi )\delta _{\xi '\xi }$$

$$({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi '},{\boldsymbol {\Phi }}_{\xi })=\rho (\xi )\delta _{\xi '\xi }$$

Quindi un qualsiasi stato del tipo ${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{i}$${\boldsymbol {\Psi }}=\sum _{i}({\boldsymbol {\Phi }}_{i},{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{i}$ nel continuo diventa:

$${\boldsymbol {\Psi }}=\int d\xi \,({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{\xi }$$

$${\boldsymbol {\Psi }}=\int d\xi \,({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }}){\boldsymbol {\Phi }}_{\xi }$$

Allo stesso modo il prodotto scalare di due stati:

$$({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')=\int ({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }})^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }}')d\xi$$

$$({\boldsymbol {\Psi }},{\boldsymbol {\Psi }}')=\int ({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }})^{*}({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }}')d\xi$$

Un vettore di norma unitaria sarà quindi tale che:

$$\int |({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}d\xi =1$$

$$\int |({\boldsymbol {\Phi }}_{\xi },{\boldsymbol {\Psi }})|^{2}d\xi =1$$

Supponiamo per esempio di avere a che fare con la posizione, per cui $\xi \to x$$\xi \to x$; la funzione d'onda dipendente dalla posizione, come già detto, sarà $\psi (x)=(({\boldsymbol {\Phi }}_{x},{\boldsymbol {\Psi }})$$\psi (x)=(({\boldsymbol {\Phi }}_{x},{\boldsymbol {\Psi }})$; da questa il prodotto scalare tra due vettori è esprimibile anche attraverso le rispettive funzioni d'onda associate:

$$({\boldsymbol {\Psi }}_{1},{\boldsymbol {\Psi }}_{2})=\int \psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)dx$$

$$({\boldsymbol {\Psi }}_{1},{\boldsymbol {\Psi }}_{2})=\int \psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)dx$$

Se consideriamo quindi un vettore di norma unitaria, sarà $\int |\psi (x)|^{2}dx=1$$\int |\psi (x)|^{2}dx=1$, da cui $dP=|\psi (x)|^{2}dx$$dP=|\psi (x)|^{2}dx$, coerentemente con la regola di Born già discussa in precedenza.