Potenziale delta

Consideriamo un potenziale del tipo , dove e indica la delta di Dirac. Ci chiediamo se un potenziale simile ammette stati legati.

L'equazione di Schrödinger diventa:

Esclusa l'origine, in cui è presente un'evidente singolarità, avremo altrove , con . Come al solito, raccordiamo le soluzioni per maggiore e minore dell'origine, ottenendo:

Nell'origine vale invecee:

Integrando questa espressione in un intervallo piccolo e simmetrico attorno l'origine:

Da questa ricaviamo un'informazione sulla funzione d'onda nell'origine: . Questo ci dice che abbiamo una discontinuità nella derivata prima della funzione d'onda; nei casi precedente potevamo raccordare anche le derivate prime ma, in questo caso, non possiamo farlo in quanto sono determinate dal potenziale considerato. Tuttavia la funzione resta continua nell'origine.

Ricapitolando:

Unendo queste informazioni con la condizione sulle derivate prime otteniamo che . Da questa ricaviamo l'energia:

Esiste quindi uno stato legato.

Ora ci chiediamo invece quale sia la posizione tale che la probabilità di trovare la particella nell'intervallo sia . Dal tipo di potenziale con cui abbiamo a che fare ci aspettiamo che sia parecchio vicina all'origine. Poiché , vale

Quindi dobbiamo porre:

Normalizzando e ponendo , ovvero otteniamo il risultato:

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