Oscillatore armonico unidimensionale

Un classico problema unidimensionale è l'oscillatore armonico, la cui soluzione tuttavia è di gran lunga ben più complicata delle buche di potenziale. Possiamo già iniziare col dire qualcosa, in virtù di ciò che sappiamo dalla teoria atomica e dalle proprietà delle funzioni d'onda: per i livelli energetici, quando è grande possiamo approssimare il gap tra e a . Insomma, vogliamo porre , il che non è poi così sbagliato, essendo il valore vero .

Il termine che compare nella relazione degli stati energetici non può essere colto sfruttando l'approssimazione semiclassica. Inoltre, per si ha , che ancora una volta non ripeschiamo da altre parti.

Risolveremo l'oscillatore armonico in due modi, sfruttando prima il formalismo di Heisenberg e poi quello di Schrödinger.

Oscillatore armonico "secondo" Heisenberg[modifica | modifica wikitesto]

Nella teoria matriciale la soluzione è leggermente più sofisticata, come andremo subito a vedere. Partiamo dall'equazione classica dell'oscillatore armonico ; sostituiamo, come abbiamo visto nel primo capitolo, con numeri interi legati a due stati dell'oscillatore armonico. In questo senso, l'oscillatore armonico viene concepito a priori essere quantizzato. Ricordiamo che , quindi l'equazione dell'oscillatore armonico diventa:

Questa ammette ovviamente la soluzione banale e utile quanto un fiammifero bruciato e la soluzione che ci interessa , da cui ricaviamo . Come la scegliamo? Poiché gli indici indicano i livelli energetici tra cui avviene la transizione, poniamo:

A questo punto è palese un'assunzione fatta in precedenza, ma chiara solo adesso: gli elementi di matrice per l'oscillatore armonico sono reali; essendo anche hermitiani, concludiamo che sono matrici simmetriche per cui .

Partiamo adesso dal commutatore fondamentale , e dimentichiamoci totalmente di cosa siano gli operatori e facciamo finta che questi indichino la posizione e l'impulso classici; questa relazione di commutazione può essere allora scritta come:

Con massa dell'oscillatore armonico. Calcoliamo allora gli elementi di matrice:

In quanto somma sull'indice muto , sommiamo su tutti i termini non nulli: poiché è definita non nulla solo per due intervalli, avremo:

Svolgendo i dovuti calcoli otteniamo:

Questa è una progressione aritmetica limitata dal basso, il che indica la presenza di un livello fondamentale. Quindi poniamo , ovvero non c'è nessun livello sotto quello fondamentale. Allora una transizione dal livello 0 al livello 1 avrà ampiezza ; iterando il processo otteniamo:

Per calcolare i livelli energetici sfruttiamo l'equazione di Schrödinger, usando come hamiltoniana la classica hamiltoniana dell'oscillatore armonico:

Dove abbiamo sostituito la sommatoria con la somma sulla uniche due transizioni non nulle. Sostituendo il valore di trovato poco fa, otteniamo i livelli energetici preannunciati:

Vediamo adesso quali funzioni d'onda sono associate a questi livelli energetici. Vedremo come nel metodo di Schrödinger il calcolo delle funzioni d'onda sia più diretto, mentre in questo caso la teoria matriciale è leggermente più complicata; tuttavia, in meccanica quantistica relativistica questa soluzione viene ripresa e ampliata, per cui è bene che la si abbia presente.

Definiamo due operatori, l'operatore creazione e l'operatore distruzione , anche comunemente chiamati operatori di scala. Vediamo come agiscono su una generica transizione:

Tuttavia è immediato verificare che, se avessimo considerato questo sarebbe stato nullo. Il contrario avviene per l'operatore di creazione, e .

Ricordiamo al volo che ; applichiamo allora l'operatore distruzione allo stato fondamentale:

Questo sempre perché solo due transizioni permettono valori non nulli; tuttavia, la funzione d'onda deve essere nulla in quanto associata a un livello energetico non ammesso, mentre dall'altra parte per quanto abbiamo detto poco fa su questi operatori; in sintesi, questi operatori ci permettono di salire e scendere tra i livelli energetici e, non potendo scendere oltre lo stato fondamentale, ci troviamo davanti un termine nullo. Questo però ci permette di ricavare proprio lo stato fondamentale:

La costante si ricava ovviamente normalizzando l'integrale della funzione d'onda. Per calcolare le funzioni d'onda degli stati eccitati si utilizza allora l'operatore di creazione, in modo che , e iterando il processo. Alla fine otteniamo l'espressione generale delle funzioni d'onda dell'oscillatore armonico:

Oscillatore armonico "secondo" Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

Ignorando totalmente qualsiasi tipo di ragionamento causa-effetto che potrebbe essere fatto in una situazione simile, risolviamo direttamente l'equazione di Schrödinger senza neanche fermarsi a chiedersi se sia o meno una buona idea; l'equazione ovviamente è:

Cambiamo variabile per operare con quantità adimensionali, ponendo ; da questo e, quindi, . In sintesi l'equazione diventa:

Ora, ci sono due modi per procedere. Si può cercare se un'equazione simile è già stata risolta e tabulata, e prendere la soluzione dalla tavole, oppure lavorare di gomito e ricavarsela. Ovviamente questa equazione è nota e anche le sue soluzioni, chiamate polinomi di Hermite, ma noi procederemo a ricavarli manualmente.

Il potenziale dell'oscillatore armonico permette orbite chiuse e, di conseguenza, uno spettro discreto. Al di fuori della regione permessa, come ormai abbiamo imparato, le funzioni d'onda diventano esponenziali decrescenti. Cerchiamo allora queste funzioni dove è molto grande, così da avere . Se consideriamo il limite per molto grande, il termine è più o meno come il Belgio durante la seconda guerra mondiale, quindi l'equazione diventa semplicemente:

La cui soluzione è . Tuttavia, se prendessimo come soluzione , questa è comunque soluzione (si verifica in un passaggio); la differenza tra questa e l'esponenziale di primo ordine è che questa soluzione va a zero più rapidamente e ci piace di più. Razzismo tra esponenziali.

Posto infatti:

Affinché sia valida, basta richiedere che sia al più un polinomio. Se sostituiamo questa soluzione nell'equazione di Schrödinger otteniamo:

Poniamo con qualsiasi cosa (potrei dirvi che non è un intero ma tanto non mi credereste). Proviamo una soluzione polinomiale qualsiasi e la sostituiamo nell'equazione:

Osserviamo che per il primo termine è sempre nullo, e quindi possiamo far partire la sommatoria direttamente da senza perdere di generalità; a questo punto possiamo riportarla a modificando i coefficienti; in sintesi l'equazione diventa:

Esclusa la soluzione inutile , la soluzione di questa equazione riguarda i coefficienti della sommatoria:

A un certo punto però deve fermarsi, così da permettere all'esponenziale di vincere e ammazzare la funzione d'onda; dovrà quindi essere ovvero è un numero intero (chi l'avrebbe mai detto, eh).

A questo punto possiamo trovare le funzioni d'onda per serie; partendo dal caso più semplice, quando il polinomio muore subito con , abbiamo la funzione:

Osserviamo che è la stessa soluzione trovata col metodo di Heisenberg; ricaviamo per normalizzazione la costante:

L'integrale di una gaussiana è , quindi ricaviamo che . Troviamo quindi la funzione d'onda associata al primo livello energetico:

Se volessimo trovare le altre funzioni d'onda dobbiamo salire di grado nel polinomio; per la funzione d'onda è associata al livello . Normalizziamo per ricavare il coefficiente :

Da questo ricaviamo .

Potremmo continuare così all'infinito, ma ormai il procedimento è ben chiaro. Riprendiamo quindi le soluzioni tabulate, che abbiamo detto essere i polinomi di Hermite, e scriviamo la generica funzione d'onda:

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