Considerazioni generali

In questo capitolo ci proponiamo di risolvere l'equazione di Schrödinger con diversi potenziali unidimensionali; sebbene lo studio unidimensionale poi non trovi riscontro pratico nella realtà, è comunque un ottimo strumento teorico per imparare a maneggiare l'equazione e trovare delle semplici soluzioni per i livelli energetici.

È utile rivedere le caratteristiche generali dell'equazione di Schrödinger nel caso unidimensionale. L'ipotesi fondamentale è che quando : questa condizione è strettamente collegata agli stati legati e fa sì che si abbia un'ampiezza di probabilità finita. Quando parliamo di particelle libere, descritte da onde piane, non è ben chiaro come interpretare il modello in termini probabilistici.

Parliamo allora di probabilità solo per gli stati legati.

Spettro continuo e spettro discreto[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 4.1.1

Avremo sempre a che fare con due diversi casi, che possiamo osservare in figura 4.1.1: particelle libere, a cui corrisponde uno spettro energetico continuo, e particelle in stati legati, a cui corrisponde uno spettro energetico discreto. Possiamo provare a capire il perché questo avviene usando l'approssimazione WKB: nel caso in cui sia presente un potenziale, occorre raccordare le soluzioni nelle diverse zone dello spazio (zone classicamente permesse e zone classicamente proibite): questo si può fare sfruttando il piano complesso, poiché non possiamo avvicinarci infinitesimamente al punto di inversione del moto. Facendo questo, si paga un prezzo: gli stati energetici diventano discreti, seguendo la quantizzazione di Bohr-Sommerfeld:

Supponiamo adesso una doppia degenerazione nello spettro discreto, ovvero abbiamo due funzioni d'onda che descrivono la particella allo stesso livello energetico. È possibile una situazione simile?

Entrambe rispettano l'equazione di Schrödinger , quindi potremo scrivere:

Da questa ricaviamo facilmente che , ovvero le due non sono linearmente indipendenti: non può quindi esserci degenerazione energetica nello spettro discreto per potenziali unidimensionali (come vedremo nel caso dell'oscillatore armonico tridimensionale si può avere degenerazione energetica). Un altro valido motivo a sostegno di ciò è che gli operatori hermitiani hanno autofunzioni tali da formare sistemi completi, quindi non è possibile una degenerazione nel caso discreto.

Raccordare le soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 4.1.2

Facciamo riferimento alla figura 4.1.2 per un veloce esempio. Le regioni I,III sono regioni classicamente proibite, che si trovano oltre i punti di inversione del moto: la funzione d'onda della particella in questa regione sarà un'esponenziale decrescente. Se il potenziale resta maggiore dell'energia fino agli estremi dello spazio, non ci sarà alcuna possibilità di avere l'effetto tunnel, e quindi questi esponenziali moriranno immediatamente. La regione II, d'altro canto, è classicamente permessa, e la funzione che descrive la particella in questa regione sarà un'onda piana. Questa possiamo già scriverla, in virtù del metodo semi-classico affrontato nel capitolo precedente:

Questa soluzione va raccordata con quelle che descrivono la particella nelle regioni I e III. Il problema che incontriamo è che, nei punti non vale l'approssimazione semi-classica. Possiamo allora supporre che, poiché il potenziale resta maggiore dell'energia indefinitamente oltre i punti di inversione del moto, gli esponenziali decrescenti siano così decrescenti da essere nulli. Quindi, per raccordare le soluzioni, avremo che , da cui ricaviamo velocemente che . Le soluzioni diventano quindi circolari:

Detto questo, non c'è alcun motivo ovvio per cui debba essere , anzi descrivono la stessa particella nella stessa regione di spazio: sostanzialmente sono la stessa cosa, a meno di una fase. Possiamo quindi forzarle ad avere la stessa fase, ponendo , con numero intero. Questa corrisponde esattamente alla quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, infatti avremo:

Questa si trova spesso scritta come , ma è chiaro che descrivono la stessa cosa. Se , allora sarà molto grande, e ricadiamo nel metodo quasi-classico (coerentemente col principio di corrispondenza). La funzione ha una fase che va da a : avrà quindi zeri, che, se è grande, si approssimano all'ordine (risultato noto altrove come teorema delle oscillazioni).

Possiamo allora chiederci da dove venga fuori lo spettro discreto: avendo forzato le due fasi come , imponiamo alla funzione di essere continua ai bordi della regione II classicamente permessa.

Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld[modifica | modifica wikitesto]

Diciamo qualcosina in più sulla quantizzazione di Bohr-Sommerfeld che abbiamo già incontrato. Per un ciclo completo questa può essere scritta come . Deriviamo entrambi i membri per , ricordando che l'impulso è , otterremo, portando dentro l'integrale dn:

Da questo otteniamo immediatamente

Ovvero che la spaziatura dei livelli energetici è .

Funzioni d'onda nello spettro continuo[modifica | modifica wikitesto]

Se la particella è libera, come abbiamo detto, normalizzare non è così banale, visto che l'integrale di un'onda piana diverge evidentemente. Come funziona allora l'ipotesi di Born nello spettro continuo? Comunque possiamo sempre dire che sia in qualche modo proporzionale alla probabilità. Un problema tipico per capire è la riflessione di una particella su una barriera di potenziale.

Fig.4.1.3

Consideriamo la figura 4.1.3, distinguiamo due casi per l'energia della particelle. In entrambi i casi non è interessante studiare la trasmissione, che sarà comunque sempre nulla. Nel primo caso abbiamo una particella libera con che varia in base alla posizione, mentre nel secondo caso ci può essere una riflessione dell'onda da parte della barriera di potenziale. In questo caso abbiamo solo una condizione al bordo e quindi procediamo raccordando le soluzioni nel punto di inversione del moto. Avremo , mentre , imponendo la continuità nell'origine abbiamo il sistema:

Sommiamo e sottraiamo le due espressioni, ottenendo:

Dove è un generico numero complesso. La soluzione a questo problema è . Poiché il moto è limitato a destra, la doppia degenerazione dell'onda piana si rompe.

Il modo usuale di vedere il problema è partire dalla generica funzione d'onda piana e studiare come parte di questa onda viene riflessa dalla barriera. Si utilizza la corrente di probabilità nella sua definizione; considereremo a sinistra dell'origine, così da avere anche . La corrente di probabilità incidente è:

Dall'altra parte, la corrente di onda riflessa è . Usualmente si tratta il coefficiente di riflessione come il rapporto tra le due correnti, che in questo caso sarà:

Stabilendo le due costanti si ottiene quindi il rapporto tra onda riflessa e onda incidente.

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