Trattazione in coordinate sferiche

Momento angolare in coordinate sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Riscriviamo il momento angolare orbitale in coordinate sferiche, partendo dalla definizione delle stesse:

Riscriviamo gli operatori di derivazione rispetto agli angoli in funzione delle coordinate euclidee:

Osserviamo subito che , da cui otteniamo subito la prima componente in coordinate sferiche:

Passiamo alle altre coordinate. Scriviamo le seguenti quantità:

Sommandole otteniamo , quindi abbiamo ottenuto la componente 1 del momento angolare:

Allo stesso modo, si verifica l'ultima componente:

Possiamo adesso calcolare in coordinate sferiche:

Sommando tutti i termini otteniamo l'espressione del momento angolare in coordinate sferiche:

Laplaciano in coordinate sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Per poter scrivere il laplaciano in coordinate sferiche utilizziamo la definizione di , riscriviamo di nuovo e lo avremo bello che pronto in un'equazione algebrica. Più facile a dirsi che a farsi.

Riscriviamo il termine . Osserviamo poi che , ma in tutte le coordinate , quindi possiamo porre :

Da questa otteniamo che , esplicitando otteniamo il laplaciano in coordinate sferiche:

Equazione di Schrödinger in coordinate sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Partendo dall'equazione di Schrödinger per potenziali centrali che abbiamo visto nella precedente sezione , esprimendo il laplaciano in coordinate sferiche otteniamo l'equazione in coordinate sferiche:

Abbiamo isolato i due termini per evidenziarli: il primo è il termine cinetico dell'equazione, mentre il secondo è il termine di potenziale, potremmo chiamare potenziale efficace .

Da questo punto di vista sembra tutto uguale alla meccanica classica, tuttavia dobbiamo ancora discutere di come opera il momento angolare quando agisce su una funzione d'onda. Abbiamo detto che momento angolare e hamiltoniana hanno autofunzioni comuni, ma gli autovalori di non è il momento angolare: che vedremo sono valori discreti.

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