Vediamo più in dettaglio qualche proprietà delle armoniche sferiche. Partiamo col dire che, essendo autofunzioni di operatori hermitiani, deve esistere una relazione di ortogonalità: per
avremo

Questo vale per gli autovalori
relativi a
. Per gli autovalori di
invece si procede diversamente. Definiamo i polinomi di Legendre associati (diversi dai polinomi di Legendre incontrati nella precedente sezione) come:

Moltiplicando entrambi i membri per
otteniamo una prima relazione:

Scambiando adesso
otteniamo una seconda relazione:

Sottraendo membro a membro:
![{\displaystyle [-l'(l'+1)+l(l+1)]P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )\sin \theta =\partial _{\theta }[P_{l}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l'}^{|m|}(\theta )-P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l}^{|m|}(\theta )]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f3f386bdb5c980bb78e56cab184fdd8a806529a9)
Osserviamo che il secondo membro di questa uguaglianza, se integrato in
da
a
, è nullo; quindi:
![{\displaystyle [-l'(l'+1)+l(l+1)]\int _{0}^{\pi }d\theta \,P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )\sin \theta =0\to \int _{0}^{\pi }d\theta \,Y_{l}^{m}(Y_{l'}^{m})^{*}=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/aea369e1479b0895dd38184096f2a0522ce49784)
Otteniamo quindi la regola generale di ortogonalità per armoniche sferiche:

Le leggi della fisica non sono invisibili a operazione di parità (ottenute invertendo gli assi); per esempio, i vettori posizione e impulso
sono quantità polari, ovvero, sotto inversione degli assi, si trasformano cambiando di segno
. Altre quantità, come ad esempio il momento angolare
, sono quantità assiali, ovvero restano identiche sotto parità.
Moltiplicando tra loro una quantità polare con una assiale, per esempio
otteniamo una quantità nota come pseudoscalare: questa infatti cambia segno invertendo gli assi.
Quantità pseudo scalari sono state osservate sperimentalmente, ad esempio per il Cobalto-60, dove, sfruttando il decadimento beta, si osservava un diverso impulso degli elettroni emessi a seconda dello spin dell'elettrone stesso.
Questa breve parentesi serve per introdurre le operazioni di parità:

Sotto operazione di parità le armoniche sferiche, poiché sono polinomi omogenei, si trovano a essere moltiplicate per un fattore
, rispettando quindi la condizione:
