Proprietà delle armoniche sferiche

Ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo più in dettaglio qualche proprietà delle armoniche sferiche. Partiamo col dire che, essendo autofunzioni di operatori hermitiani, deve esistere una relazione di ortogonalità: per avremo

Questo vale per gli autovalori relativi a . Per gli autovalori di invece si procede diversamente. Definiamo i polinomi di Legendre associati (diversi dai polinomi di Legendre incontrati nella precedente sezione) come:

Moltiplicando entrambi i membri per otteniamo una prima relazione:

Scambiando adesso otteniamo una seconda relazione:

Sottraendo membro a membro:

Osserviamo che il secondo membro di questa uguaglianza, se integrato in da a , è nullo; quindi:

Otteniamo quindi la regola generale di ortogonalità per armoniche sferiche:

Parità[modifica | modifica wikitesto]

Le leggi della fisica non sono invisibili a operazione di parità (ottenute invertendo gli assi); per esempio, i vettori posizione e impulso sono quantità polari, ovvero, sotto inversione degli assi, si trasformano cambiando di segno . Altre quantità, come ad esempio il momento angolare , sono quantità assiali, ovvero restano identiche sotto parità.

Moltiplicando tra loro una quantità polare con una assiale, per esempio otteniamo una quantità nota come pseudoscalare: questa infatti cambia segno invertendo gli assi.

Quantità pseudo scalari sono state osservate sperimentalmente, ad esempio per il Cobalto-60, dove, sfruttando il decadimento beta, si osservava un diverso impulso degli elettroni emessi a seconda dello spin dell'elettrone stesso.

Questa breve parentesi serve per introdurre le operazioni di parità:

Sotto operazione di parità le armoniche sferiche, poiché sono polinomi omogenei, si trovano a essere moltiplicate per un fattore , rispettando quindi la condizione:

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