Proprietà delle armoniche sferiche

Ortogonalità

Vediamo più in dettaglio qualche proprietà delle armoniche sferiche. Partiamo col dire che, essendo autofunzioni di operatori hermitiani, deve esistere una relazione di ortogonalità: per $m\neq m'$$m\neq m'$ avremo

$$\int d^{2}{\hat {\mathbf {n} }}Y_{l}^{m}(Y_{l}^{m})^{*}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \,\underbrace {e^{i(m-m')\phi }} _{\delta _{mm'}=0}\int d\theta \cdots$$

$$\int d^{2}{\hat {\mathbf {n} }}Y_{l}^{m}(Y_{l}^{m})^{*}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \,\underbrace {e^{i(m-m')\phi }} _{\delta _{mm'}=0}\int d\theta \cdots$$

Questo vale per gli autovalori $m$$m$ relativi a $L_{3}$$L_3$. Per gli autovalori di $\mathbf {L} ^{2}$$\mathbf {L} ^{2}$ invece si procede diversamente. Definiamo i polinomi di Legendre associati (diversi dai polinomi di Legendre incontrati nella precedente sezione) come:

$$-{\frac {1}{\sin \theta }}\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }\,P_{l}^{|m|}(\theta ))+{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}P_{l}^{|m|}(\theta )=l(l+1)P_{l}^{|m|}(\theta )$$

$$-{\frac {1}{\sin \theta }}\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }\,P_{l}^{|m|}(\theta ))+{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}P_{l}^{|m|}(\theta )=l(l+1)P_{l}^{|m|}(\theta )$$

Moltiplicando entrambi i membri per $P_{l'}^{|m|}\sin \theta$$P_{l'}^{|m|}\sin \theta$ otteniamo una prima relazione:

$$l(l+1)P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta ={\frac {m^{2}}{\sin \theta }}P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )-P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l}^{|m|}(\theta ))$$

$$l(l+1)P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta ={\frac {m^{2}}{\sin \theta }}P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )-P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l}^{|m|}(\theta ))$$

Scambiando adesso $l\to l'$$l\to l'$ otteniamo una seconda relazione:

$$l'(l'+1)P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta ={\frac {m^{2}}{\sin \theta }}P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )-P_{l}^{|m|}(\theta )\,\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l'}^{|m|}(\theta ))$$

$$l'(l'+1)P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta ={\frac {m^{2}}{\sin \theta }}P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )-P_{l}^{|m|}(\theta )\,\partial _{\theta }(\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l'}^{|m|}(\theta ))$$

Sottraendo membro a membro:

$$[-l'(l'+1)+l(l+1)]P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )\sin \theta =\partial _{\theta }[P_{l}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l'}^{|m|}(\theta )-P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l}^{|m|}(\theta )]$$

$$[-l'(l'+1)+l(l+1)]P_{l}^{|m|}(\theta )P_{l'}^{|m|}(\theta )\sin \theta =\partial _{\theta }[P_{l}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l'}^{|m|}(\theta )-P_{l'}^{|m|}(\theta )\,\sin \theta \,\partial _{\theta }P_{l}^{|m|}(\theta )]$$

Osserviamo che il secondo membro di questa uguaglianza, se integrato in $d\theta$$d\theta$ da $0$$0$ a $\pi$$\pi$, è nullo; quindi:

$$[-l'(l'+1)+l(l+1)]\int _{0}^{\pi }d\theta \,P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )\sin \theta =0\to \int _{0}^{\pi }d\theta \,Y_{l}^{m}(Y_{l'}^{m})^{*}=0$$

$$[-l'(l'+1)+l(l+1)]\int _{0}^{\pi }d\theta \,P_{l'}^{|m|}(\theta )P_{l}^{|m|}(\theta )\sin \theta =0\to \int _{0}^{\pi }d\theta \,Y_{l}^{m}(Y_{l'}^{m})^{*}=0$$

Otteniamo quindi la regola generale di ortogonalità per armoniche sferiche:

$$\int d^{2}{\hat {\mathbf {n} }}\,Y_{l}^{m}({\hat {\mathbf {n} }})(Y_{l'}^{m'}({\hat {\mathbf {n} }}))^{*}=\delta _{ll'}\delta _{mm'}$$

$$\int d^{2}{\hat {\mathbf {n} }}\,Y_{l}^{m}({\hat {\mathbf {n} }})(Y_{l'}^{m'}({\hat {\mathbf {n} }}))^{*}=\delta _{ll'}\delta _{mm'}$$

Parità

Le leggi della fisica non sono invisibili a operazione di parità (ottenute invertendo gli assi); per esempio, i vettori posizione e impulso $\mathbf {x} ,\mathbf {p}$$\mathbf {x} ,\mathbf {p}$ sono quantità polari, ovvero, sotto inversione degli assi, si trasformano cambiando di segno $\mathbf {p} \to -\mathbf {p}$$\mathbf {p} \to -\mathbf {p}$. Altre quantità, come ad esempio il momento angolare $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$, sono quantità assiali, ovvero restano identiche sotto parità.

Moltiplicando tra loro una quantità polare con una assiale, per esempio $\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {p} )$$\mathbf {p} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {p} )$ otteniamo una quantità nota come pseudoscalare: questa infatti cambia segno invertendo gli assi.

Quantità pseudo scalari sono state osservate sperimentalmente, ad esempio per il Cobalto-60, dove, sfruttando il decadimento beta, si osservava un diverso impulso degli elettroni emessi a seconda dello spin dell'elettrone stesso.

Questa breve parentesi serve per introdurre le operazioni di parità:

$$\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\to -x_{1}\\&x_{2}\to -x_{2}\\&x_{3}\to -x_{3}\end{aligned}}\right|\,{\begin{aligned}&{\hat {x}}_{+}\to -{\hat {x}}_{+}\\&{\hat {x}}_{-}\to -{\hat {x}}_{-}\\&{\hat {x}}_{3}\to -{\hat {x}}_{3}\end{aligned}}$$

$$\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\to -x_{1}\\&x_{2}\to -x_{2}\\&x_{3}\to -x_{3}\end{aligned}}\right|\,{\begin{aligned}&{\hat {x}}_{+}\to -{\hat {x}}_{+}\\&{\hat {x}}_{-}\to -{\hat {x}}_{-}\\&{\hat {x}}_{3}\to -{\hat {x}}_{3}\end{aligned}}$$

Sotto operazione di parità le armoniche sferiche, poiché sono polinomi omogenei, si trovano a essere moltiplicate per un fattore $(-1)^{l}$$(-1)^{l}$, rispettando quindi la condizione:

$$Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\phi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$$

$$Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\phi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$$