Oscillatore armonico tridimensionale

Consideriamo un potenziale del tipo , l'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico tridimensionale diventa quindi:

Osserviamo che sia il laplaciano che possono essere scritti come somma di tre termini . L'equazione dell'oscillatore armonico tridimensionale allora è separabile e la soluzione sarà il prodotto di tre oscillatori armonici unidimensionali:

I livelli energetici sono quindi dipendenti da tre diversi set di livelli, per cui . È anche in questo caso quindi presente una degenerazione energetica, infatti l'energia è anche scrivibile come:

Con .

Definiamo i seguenti operatori:

Per questi valgono le seguenti regole di commutazione:

Poiché inoltre vale , possiamo anche riscrivere l'hamiltoniana in funzione di questi due operatori come:

Da questa e dalle regole di commutazione derivano i commutatori tra hamiltoniana e i due operatori:

A che servono questi operatori? Supponiamo di voler conoscere l'energia dello stato posto che sia il livello energetico di , avremo:

Ovvero l'energia di è . Allo stesso modo si vede che si trova a un livello energetico : questi due operatori ci permettono quindi di salire e scendere tra le funzioni d'onda dei diversi livelli energetici. Secondo questo ragionamento, quindi, se esiste uno stato fondamentale , applicando a dovremmo ottenere come risultato 0:

Da questa otteniamo che , da cui otteniamo la funzione d'onda del livello fondamentale:

Osserviamo che questo è esattamente il livello fondamentale che avevamo trovato nel caso unidimensionale. D'altro canto non esiste un livello superiore massimo: l'equazione fornisce come soluzione , che risulta essere non normalizzabile e, quindi, insensata come soluzione al problema.

Tuttavia, una volta conosciuto il livello fondamentale, possiamo conoscere tutti i livelli superiori applicando l'operatore : è in questo modo che si costruiscono i polinomi di Hermite. La soluzione dell'oscillatore armonico tridimensionale sarà quindi:

Ovvero ogni ci fa salire di un livello lungo la coordinata , mentre le altre restano al loro livello energetico. A questo punto capiamo il perché i livelli energetici sono distribuiti esattamente come:

Ogni è usato volte, alzando di volte l'energia di un fattore . Poiché possiamo ottenere in diversi modi a seconda delle combinazioni, ci saranno diversi modi per ottenere il livello di energia :

Questi sono i diversi modi per poter ottenere un intero a partire da tre diversi interi .

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