Consideriamo un potenziale del tipo
, l'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico tridimensionale diventa quindi:

Osserviamo che sia il laplaciano che
possono essere scritti come somma di tre termini
. L'equazione dell'oscillatore armonico tridimensionale allora è separabile e la soluzione sarà il prodotto di tre oscillatori armonici unidimensionali:

I livelli energetici sono quindi dipendenti da tre diversi set di livelli, per cui
. È anche in questo caso quindi presente una degenerazione energetica, infatti l'energia è anche scrivibile come:

Con
.
Definiamo i seguenti operatori:

Per questi valgono le seguenti regole di commutazione:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[a_{i},a_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}\\&[a_{i},a_{j}]=0\\&[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=0\end{aligned}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a91f5fbce5da3916dd53089f8d074777728bb912)
Poiché inoltre vale
, possiamo anche riscrivere l'hamiltoniana in funzione di questi due operatori come:

Da questa e dalle regole di commutazione derivano i commutatori tra hamiltoniana e i due operatori:
![{\displaystyle [H_{i},a_{i}]=-\hbar \omega a_{i}\quad [H_{i},a_{i}^{\dagger }]=+\hbar \omega a_{i}^{\dagger }}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/68f2049cdaf664ccf01bf7012c9a6e9ddef2690e)
A che servono questi operatori? Supponiamo di voler conoscere l'energia dello stato
posto che
sia il livello energetico di
, avremo:

Ovvero l'energia di
è
. Allo stesso modo si vede che
si trova a un livello energetico
: questi due operatori ci permettono quindi di salire e scendere tra le funzioni d'onda dei diversi livelli energetici. Secondo questo ragionamento, quindi, se esiste uno stato fondamentale
, applicando
a
dovremmo ottenere come risultato 0:

Da questa otteniamo che
, da cui otteniamo la funzione d'onda del livello fondamentale:

Osserviamo che questo è esattamente il livello fondamentale che avevamo trovato nel caso unidimensionale. D'altro canto non esiste un livello superiore massimo: l'equazione
fornisce come soluzione
, che risulta essere non normalizzabile e, quindi, insensata come soluzione al problema.
Tuttavia, una volta conosciuto il livello fondamentale, possiamo conoscere tutti i livelli superiori applicando l'operatore
: è in questo modo che si costruiscono i polinomi di Hermite. La soluzione dell'oscillatore armonico tridimensionale sarà quindi:

Ovvero ogni
ci fa salire di un livello lungo la coordinata
, mentre le altre restano al loro livello energetico. A questo punto capiamo il perché i livelli energetici sono distribuiti esattamente come:

Ogni
è usato
volte, alzando di
volte l'energia di un fattore
. Poiché possiamo ottenere
in diversi modi a seconda delle combinazioni, ci saranno diversi modi per ottenere il livello di energia
:

Questi sono i diversi modi per poter ottenere un intero
a partire da tre diversi interi
.