Oscillatore armonico tridimensionale

Consideriamo un potenziale del tipo $V(r)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}$ $V(r)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}$ , l'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico tridimensionale diventa quindi:

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}\right)\psi =E\psi

Osserviamo che sia il laplaciano che $r^{2}$ $r^2$ possono essere scritti come somma di tre termini $\Delta =\sum _{i}\partial _{i},r^{2}=\sum _{i}x_{i}$ $\Delta =\sum _{i}\partial _{i},r^{2}=\sum _{i}x_{i}$ . L'equazione dell'oscillatore armonico tridimensionale allora è separabile e la soluzione sarà il prodotto di tre oscillatori armonici unidimensionali:

\psi (\mathbf {x} )=\psi _{n_{1}}(x_{1})\psi _{n_{2}}(x_{2})\psi _{n_{3}}(x_{3})

I livelli energetici sono quindi dipendenti da tre diversi set di livelli, per cui $E=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}+E_{n_{3}}$ $E=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}+E_{n_{3}}$ . È anche in questo caso quindi presente una degenerazione energetica, infatti l'energia è anche scrivibile come:

E_{n_{1}n_{2}n_{3}}=\hbar \omega \left(N+{\frac {3}{2}}\right)

Con $N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ $N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ .

Definiamo i seguenti operatori:

{\begin{aligned}&a_{i}={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(-i\hbar \partial _{i}-im\omega x_{i})\quad {\text{abbassamento}}\\&a_{i}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(-i\hbar \partial _{i}+im\omega x_{i})\quad {\text{innalzamento}}\end{aligned}}

Per questi valgono le seguenti regole di commutazione:

{\begin{aligned}&[a_{i},a_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}\\&[a_{i},a_{j}]=0\\&[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=0\end{aligned}}

Poiché inoltre vale $\hbar \omega a_{i}^{\dagger }a_{i}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{i}^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{i}^{2}$ $\hbar \omega a_{i}^{\dagger }a_{i}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{i}^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{i}^{2}$ , possiamo anche riscrivere l'hamiltoniana in funzione di questi due operatori come:

H=\hbar \omega \left(a_{i}^{\dagger }a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)

Da questa e dalle regole di commutazione derivano i commutatori tra hamiltoniana e i due operatori:

[H_{i},a_{i}]=-\hbar \omega a_{i}\quad [H_{i},a_{i}^{\dagger }]=+\hbar \omega a_{i}^{\dagger }

A che servono questi operatori? Supponiamo di voler conoscere l'energia dello stato $(a_{i}\psi )$ $(a_{i}\psi )$ posto che $E$ $E$ sia il livello energetico di $\psi$ $\psi$ , avremo:

H(a_{i}\psi )=(H_{i}a_{i})\psi =(a_{i}H_{i}-\hbar \omega a_{i})\psi =(H_{i}-\hbar \omega )(a_{i}\psi )

Ovvero l'energia di $a_{i}\psi$ $a_{i}\psi$ è $E-\hbar \omega$ $E-\hbar \omega$ . Allo stesso modo si vede che $a_{i}^{\dagger }\psi$ $a_{i}^{\dagger }\psi$ si trova a un livello energetico $E+\hbar \omega$ $E+\hbar \omega$ : questi due operatori ci permettono quindi di salire e scendere tra le funzioni d'onda dei diversi livelli energetici. Secondo questo ragionamento, quindi, se esiste uno stato fondamentale $E_{0}$ $E_0$ , applicando $a_{i}$ $a_{i}$ a $\psi _{0}$ $\psi_0$ dovremmo ottenere come risultato 0:

(-i\hbar \partial _{i}-im\omega x_{i})\psi _{0}=0\,\rightarrow \,{\frac {\partial _{i}\psi _{0}}{\psi _{0}}}=-{\frac {m\omega }{\hbar }}x_{i}

Da questa otteniamo che $\ln(\psi _{0})=-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x_{i}^{2}+{\text{cost}}$ $\ln(\psi _{0})=-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x_{i}^{2}+{\text{cost}}$ , da cui otteniamo la funzione d'onda del livello fondamentale:

\psi _{0}={\text{cost}}\;e^{-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x_{i}^{2}}

Osserviamo che questo è esattamente il livello fondamentale che avevamo trovato nel caso unidimensionale. D'altro canto non esiste un livello superiore massimo: l'equazione $a_{i}^{\dagger }\psi _{\text{max}}=0$ $a_{i}^{\dagger }\psi _{\text{max}}=0$ fornisce come soluzione $\psi _{\text{max}}={\text{cost }}\exp \left({\frac {m\omega }{2\hbar }}x_{i}^{2}\right)$ $\psi _{\text{max}}={\text{cost }}\exp \left({\frac {m\omega }{2\hbar }}x_{i}^{2}\right)$ , che risulta essere non normalizzabile e, quindi, insensata come soluzione al problema.

Tuttavia, una volta conosciuto il livello fondamentale, possiamo conoscere tutti i livelli superiori applicando l'operatore $a_{i}^{\dagger }$ $a_{i}^{\dagger }$ : è in questo modo che si costruiscono i polinomi di Hermite. La soluzione dell'oscillatore armonico tridimensionale sarà quindi:

\psi (\mathbf {x} )\propto (a_{1}^{\dagger })^{n_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{n_{2}}(a_{3}^{\dagger })^{n_{3}}\psi _{0}(r)

Ovvero ogni $a_{i}^{\dagger }$ $a_{i}^{\dagger }$ ci fa salire di un livello lungo la coordinata $x_{i}$ $x_i$ , mentre le altre restano al loro livello energetico. A questo punto capiamo il perché i livelli energetici sono distribuiti esattamente come:

E=\hbar \omega \left(n_{1}+n_{2}+n_{3}+{\frac {3}{2}}\right)

Ogni $a_{i}^{\dagger }$ $a_{i}^{\dagger }$ è usato $n_{i}$ $n_{i}$ volte, alzando di $n_{i}$ $n_{i}$ volte l'energia di un fattore $\hbar \omega$ $\hbar \omega$ . Poiché possiamo ottenere $N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ $N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ in diversi modi a seconda delle combinazioni, ci saranno diversi modi per ottenere il livello di energia $N$ $N$ :

{\mathcal {N}}_{N}=\sum _{n_{1}=0}^{N}\sum _{n_{2}=0}^{N-n_{1}}1=\sum _{n_{1}=0}^{N}(N-n_{1}+1)=(N+1)^{2}-{\frac {N(N-1)}{2}}={\frac {(N+1)(N+2)}{2}}

Questi sono i diversi modi per poter ottenere un intero $N$ $N$ a partire da tre diversi interi $n_{1},n_{2},n_{3}$ $n_{1},n_{2},n_{3}$ .