Momento angolare orbitale

Tratteremo in questo capitolo le caratteristiche dei potenziali centrali, ovvero quei potenziali che dipendono solo dalla distanza da un centro $V(r)=V({\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }})$$V(r)=V({\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }})$. La caratteristica fondamentale di questi potenziali, come vedremo, è la loro invarianza sotto rotazioni: a fine capitolo tratteremo due problemi, l'atomo di idrogeno e l'oscillatore armonico tridimensionale, che rientrano in questa categoria.

I potenziali centrali possono essere di diverso tipo, a seconda della loro dipendenza dal raggio. I potenziali che vanno come ${\frac {1}{r}}$${\frac {1}{r}}$ non presentano una caduta sul centro e permettono agli atomi di essere stabili al loro livello fondamentale; quelli che vanno come ${\frac {1}{r^{2}}}$$\frac{1}{r^2}$ sotto opportune condizioni presentano una caduta nel centro mentre quelli del tipo ${\frac {1}{r^{3}}}$$\frac{1}{r^3}$ presentano sempre la caduta sul centro, anche se non ci sono riscontri fisici di potenziali simili.

Risolveremo, per problemi simili, l'equazione di Schrödinger in tre dimensioni. L'hamiltoniana di problemi simili si può ricavare dal problema classico dei due corpi:

$$H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\mu }}+V(r)$$

$$H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\mu }}+V(r)$$

Con $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ massa ridotta. L'equazione di Schrödinger ha la forma classica vista finora:

$$E\psi =H\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\psi$$

$$E\psi =H\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\psi$$

Con $\psi (\mathbf {x} ,t)=e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}\psi (\mathbf {x} )$$\psi (\mathbf {x} ,t)=e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}\psi (\mathbf {x} )$.

Definizione di momento angolare

Agli operatori di posizione e impulso visti finora si affianca l'operatore momento angolare definito come:

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} =-i\hbar (\mathbf {x} \times {\boldsymbol {\nabla }})$$

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} =-i\hbar (\mathbf {x} \times {\boldsymbol {\nabla }})$$

Spesso viene indicato per componenti, e anche noi useremo spesso la notazione $L_{i}=-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\partial _{k}$$L_{i}=-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\partial _{k}$ (indici ripetuti indicano una sommatoria sull'indice, da qui in avanti), dove $\epsilon _{ijk}$$\epsilon _{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita:

$$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{aligned}&1\quad \epsilon _{123}{\text{ e permutazioni pari}}\\&-1\quad \epsilon _{132}{\text{ e permutazioni dispari}}\\&0\quad {\text{ per indici ripetuti}}\end{aligned}}\right.$$

$$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{aligned}&1\quad \epsilon _{123}{\text{ e permutazioni pari}}\\&-1\quad \epsilon _{132}{\text{ e permutazioni dispari}}\\&0\quad {\text{ per indici ripetuti}}\end{aligned}}\right.$$

Il simbolo di Levi-Civita indica un tensore di rango 3 antisimmetrico con proprietà definite:

• $\epsilon _{ijk}\cdot \epsilon _{irs}=\delta _{jr}\delta _{ks}-\delta _{js}\delta _{rk}$$\epsilon _{ijk}\cdot \epsilon _{irs}=\delta _{jr}\delta _{ks}-\delta _{js}\delta _{rk}$;
• $\epsilon _{ijr}\cdot \epsilon _{ijk}=2\delta _{kr}$$\epsilon _{ijr}\cdot \epsilon _{ijk}=2\delta _{kr}$;
• $\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6$$\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6$

Calcoliamo adesso i commutatori di $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$, partendo dalla posizione $[L_{i},x_{l}]=L_{i}x_{l}-x_{l}L_{i}$$[L_{i},x_{l}]=L_{i}x_{l}-x_{l}L_{i}$. Per comodità, vediamo prima il commutatore $[\partial _{k},x_{l}]=\partial _{k}x_{l}-x_{l}\partial _{k}$$[\partial _{k},x_{l}]=\partial _{k}x_{l}-x_{l}\partial _{k}$, applicandolo a una generica funzione d'onda:

$$[\partial _{k},x_{l}]\psi =\partial _{k}(x_{l}\psi )-x_{l}\partial _{k}(\psi )={\frac {\partial x_{l}}{\partial x_{k}}}\psi +x_{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}-x_{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}=\delta _{kl}\psi$$

$$[\partial _{k},x_{l}]\psi =\partial _{k}(x_{l}\psi )-x_{l}\partial _{k}(\psi )={\frac {\partial x_{l}}{\partial x_{k}}}\psi +x_{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}-x_{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}=\delta _{kl}\psi$$

Concludiamo da questo che $[\partial _{k},x_{l}]=\delta _{kl}$$[\partial _{k},x_{l}]=\delta _{kl}$. Nel momento angolare, poiché definito come prodotto vettoriale tra posizione e impulso, compare l'operatore $\partial _{k}$$\partial _{k}$, quindi avremo che:

$$[L_{i},x_{l}]=[-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\partial _{k},x_{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},x_{l}]$$

$$[L_{i},x_{l}]=[-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\partial _{k},x_{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},x_{l}]$$

Vale che $[AB,C]=ABC-CAB=ABC-ACB+ACB-CAB=A[B,C]+[A,C]B$$[AB,C]=ABC-CAB=ABC-ACB+ACB-CAB=A[B,C]+[A,C]B$, quindi:

$$-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},x_{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}\{x_{j}[\partial _{k},x_{l}]+\underbrace {[x_{j},x_{l}]} _{=0}\partial _{k}\}$$

$$-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},x_{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}\{x_{j}[\partial _{k},x_{l}]+\underbrace {[x_{j},x_{l}]} _{=0}\partial _{k}\}$$

Da cui concludiamo che $[L_{i},x_{j}]=+i\hbar \epsilon _{ijk}x_{k}$$[L_{i},x_{j}]=+i\hbar \epsilon _{ijk}x_{k}$perchè $-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\delta _{kl}=-i\hbar \epsilon _{ijl}x_{j}=i\hbar \epsilon _{ilj}x_{j}\longrightarrow i\hbar \epsilon _{ijk}x_{k}$$-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\delta _{kl}=-i\hbar \epsilon _{ijl}x_{j}=i\hbar \epsilon _{ilj}x_{j}\longrightarrow i\hbar \epsilon _{ijk}x_{k}$. Ripetiamo il procedimento con l'operatore impulso, partendo prima dal commutatore:

$$[L_{i},\partial _{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},\partial _{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}\{x_{j}\underbrace {[\partial _{k},\partial _{l}]} _{=0}+[x_{j},\partial _{l}]\partial _{k}\}$$

$$[L_{i},\partial _{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}[x_{j}\partial _{k},\partial _{l}]=-i\hbar \epsilon _{ijk}\{x_{j}\underbrace {[\partial _{k},\partial _{l}]} _{=0}+[x_{j},\partial _{l}]\partial _{k}\}$$

Ci tocca quindi esprimere $[x_{j},\partial _{l}]$$[x_{j},\partial _{l}]$, lo applichiamo a una generica funzione d'onda:

$$[x_{j},\partial _{l}]\psi =x_{j}\partial _{l}\psi -\partial _{l}(x_{j}\psi )=-\delta _{lj}\psi$$

$$[x_{j},\partial _{l}]\psi =x_{j}\partial _{l}\psi -\partial _{l}(x_{j}\psi )=-\delta _{lj}\psi$$

Quindi concludiamo $[L_{i},\partial _{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}\partial _{k}$$[L_{i},\partial _{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}\partial _{k}$. Qua c'è puzza di risultato comune. Vuoi vedere che questo vale per ogni operatore vettoriale $\mathbf {V}$$\mathbf{V}$? Ovvero che $[L_{i},V_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k}$$[L_{i},V_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k}$? Proviamo con un altro operatore vettoriale, ovvero calcoliamo il commutatore del momento angolare con se stesso. Vale proprio $[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$: questa è una regola generale che definisce l'algebra di Lie per i generatori delle rotazioni in spazi tridimensionali. Infatti, come vedremo meglio prossimamente, una generica rotazione si può scrivere come $e^{i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {L} }$$e^{i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {L} }$ con ${\boldsymbol {\theta }}$${\boldsymbol {\theta }}$ che indica l'asse attorno cui si effettua la rotazione, mentre $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$ è il momento angolare.

Vediamo allora se è vero che $[L_{1},L_{2}]=i\hbar L_{3}$$[L_{1},L_{2}]=i\hbar L_{3}$.

$${\begin{aligned}[L_{1},L_{2}]&=[L_{1},-i\hbar \epsilon _{231}x_{3}\partial _{1}-i\hbar \epsilon _{213}x_{1}\partial _{3}]=\\&=-i\hbar [L_{1},x_{3}\partial _{1}]+i\hbar [L_{1},x_{1}\partial _{3}]=\\&=-i\hbar [-i\hbar x_{2}\partial _{1}+i\hbar x_{1}\partial _{2}]=i\hbar L_{3}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}[L_{1},L_{2}]&=[L_{1},-i\hbar \epsilon _{231}x_{3}\partial _{1}-i\hbar \epsilon _{213}x_{1}\partial _{3}]=\\&=-i\hbar [L_{1},x_{3}\partial _{1}]+i\hbar [L_{1},x_{1}\partial _{3}]=\\&=-i\hbar [-i\hbar x_{2}\partial _{1}+i\hbar x_{1}\partial _{2}]=i\hbar L_{3}\end{aligned}}$$

Quindi la regola generale del commutatore tra il momento angolare e operatori vettoriali, per quanto ci riguarda, funziona.

Cosa dire adesso riguardo $[L_{i},V_{j}V_{j}]$$[L_{i},V_{j}V_{j}]$?

$$[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=V_{j}[L_{i},V_{j}]+[L_{i},V_{j}]V_{j}=V_{j}(i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k})+i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k}V_{j}=i\hbar \epsilon _{ijk}(V_{j}V_{k}+V_{k}V_{j})$$

$$[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=V_{j}[L_{i},V_{j}]+[L_{i},V_{j}]V_{j}=V_{j}(i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k})+i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k}V_{j}=i\hbar \epsilon _{ijk}(V_{j}V_{k}+V_{k}V_{j})$$

Chiamiamo $S_{jk}=(V_{j}V_{k}+V_{k}V_{j})$$S_{jk}=(V_{j}V_{k}+V_{k}V_{j})$ (è un tensore simmetrico di rango 2, vale $S_{jk}=S_{kj}$$S_{jk}=S_{kj}$ poiché $[V_{j},V_{k}]=0$$[V_{j},V_{k}]=0$). Osserviamo che $\epsilon _{ijk}S_{jk}$$\epsilon _{ijk}S_{jk}$, se cambiamo i nomi degli indici $j=k$$j=k$ e $k=j$$k=j$ (essendo indici muti è lecito farlo), otteniamo che $\epsilon _{ijk}S_{jk}=\epsilon _{ikj}S_{kj}=-\epsilon _{ijk}S_{jk}$$\epsilon _{ijk}S_{jk}=\epsilon _{ikj}S_{kj}=-\epsilon _{ijk}S_{jk}$, quindi in conclusione $\epsilon _{ijk}S_{jk}=0$$\epsilon _{ijk}S_{jk}=0$. Questa è una regola generale per tutti i tensori: moltiplicando tra loro un tensore simmetrico con uno antisimmetrico il risultato è sempre zero. Questo ci indica che il commutatore:

$$[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=0$$

$$[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=0$$

Il momento angolare commuta con tutti i prodotti scalari. Poiché l'hamiltoniana scritta in forma $H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V({\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }})$$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V({\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }})$ dipende solo da prodotti scalari, ne consegue che l'hamiltoniana di potenziali centrali commuta con il momento angolare. Poiché $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$ è il generatore delle rotazioni (come in meccanica classica), possiamo anche dire che in questo caso l'hamiltoniana è invariante sotto rotazioni, ovvero presenta una simmetria. In meccanica classica, a ogni legge di simmetria si associa una legge di conservazione. Dalle leggi di Ehrenfest vale:

$${\frac {d}{dt}}<A>=\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}[H,A]\right\rangle$$

$${\frac {d}{dt}}<A>=\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}[H,A]\right\rangle$$

Se $[\mathbf {L} ,H]=0$$[\mathbf {L} ,H]=0$ vuol dire che il valore atteso del momento angolare è conservato nel tempo, ovvero è una costante del moto. Inoltre, il momento angolare ha anche altre proprietà:

• è hermitiano;
• ha propri autovettori (chiamati armoniche sferiche) e autovalori (i rispettivi momenti angolari);
• è quantizzato per interi.

Diciamo allora che l'autovalore di $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$ è un numero quantico conservato per hamiltoniane in campi centriali.

Riassumendo, valgono i seguenti commutatori:

$${\begin{aligned}&[L_{i},H]=0\\&[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=0\\&[\mathbf {L} ^{2},H]=0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&[L_{i},H]=0\\&[L_{i},\mathbf {V} ^{2}]=0\\&[\mathbf {L} ^{2},H]=0\end{aligned}}$$

Questo vuol dire che tutti questi operatori hanno un set di autovettori comuni. Le autofunzioni dell'hamiltoniana sono le funzioni d'onda $\psi _{n}$$\psi _{n}$; poiché $[\mathbf {L} ^{2},H]=0$$[\mathbf {L} ^{2},H]=0$, hamiltoniana e momento angolare hanno autofunzioni comuni $\psi _{nl}$$\psi _{nl}$; poiché vale anche $[L_{i},H]=0$$[L_{i},H]=0$, ci sarà un set di autofunzioni $\psi _{nlm}$$\psi _{nlm}$ comune ai tre operatori. I pedici indicano rispettivamente:

• $n$$n$ il livello energetico, dall'equazione di Schrödinger;
• $l$$l$ è l'autovalore di $\mathbf {L} ^{2}$$\mathbf {L} ^{2}$;
• $m$$m$ è l'autovalore di uno dei $L_{i}$$L_{i}$.

Il momento angolare genera rotazioni

In che senso il momento angolare genera le rotazioni? Prendiamo $L_{3}=-i\hbar (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})$$L_{3}=-i\hbar (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})$ e consideriamo l'operatore:

$$\exp \left({\frac {i\theta L_{3}}{\hbar }}\right)=\exp[\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})]$$

$$\exp \left({\frac {i\theta L_{3}}{\hbar }}\right)=\exp[\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})]$$

Se consideriamo $\theta$$\theta$ piccolo possiamo espandere in serie l'esponenziale ottenendo $1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})+O(x^{2})$$1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})+O(x^{2})$; lo facciamo operare su un generico vettore $(x_{1},x_{2},x_{3})$$(x_{1},x_{2},x_{3})$:

$${\begin{vmatrix}1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})&0&0\\0&1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})&0\\0&0&1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{1}-\theta x_{2}\\x_{2}+\theta x_{1}\\x_{3}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})&0&0\\0&1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})&0\\0&0&1+\theta (x_{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1})\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{1}-\theta x_{2}\\x_{2}+\theta x_{1}\\x_{3}\end{vmatrix}}$$

Questa corrisponde, per $\theta$$\theta$ piccoli, a una rotazione del vettore attorno l'asse ${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$, quindi l'operatore $L_{i}$$L_{i}$ non fa altro che generare rotazioni attorno l'i-esimo asse. Ritorneremo a parlare di rotazioni e simmetrie in futuro, entrando meglio nei dettagli.

Il momento angolare è hermitiano

Abbiamo detto che il momento angolare è hermitiano; tuttavia, essendo un operatore prodotto, non è così scontato che lo sia, anche se i due fattori sono hermitiani. Infatti, dati $A,B$$A,B$ hermitiani, per essere $AB$$AB$ esso stesso hermitiano deve verificarsi:

$$\int \psi ^{*}AB\psi =\int (A\psi )^{*}B\psi =\int (BA\psi )^{*}\psi {\xrightarrow {\text{se hermitiano}}}\int (AB\psi )^{*}\psi$$

$$\int \psi ^{*}AB\psi =\int (A\psi )^{*}B\psi =\int (BA\psi )^{*}\psi {\xrightarrow {\text{se hermitiano}}}\int (AB\psi )^{*}\psi$$

Quindi, affinché sia hermitiano, gli operatori $A,B$$A,B$ devono commutare tra loro. La posizione e l'impulso sappiamo non commutare, tuttavia non commutano nelle stesse coordinate, infatti $[X_{i},P_{j}]=-i\hbar \delta _{ij}$$[X_{i},P_{j}]=-i\hbar \delta _{ij}$. Poiché nel momento angolare appaiono coordinate diverse di entrambi, queste commutano tra loro e quindi il momento angolare è un operatore hermitiano.

Invarianza dell'hamiltoniana sotto rotazioni

Consideriamo il valore atteso dell'hamiltoniana $<H>=(\psi ,H\psi )$$<H>=(\psi ,H\psi )$; prendiamo un operatore unitario che genera rotazioni, ad esempio:

$$e^{i{\frac {{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {L} }{\hbar }}}\psi ={\mathcal {U}}\psi$$

$$e^{i{\frac {{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {L} }{\hbar }}}\psi ={\mathcal {U}}\psi$$

Generando una rotazione della funzione d'onda, vediamo che il valore atteso dell'hamiltoniana resta invariato:

$$({\mathcal {U}}\psi ,H({\mathcal {U}}\psi ))=({\mathcal {U}}\psi ,{\mathcal {U}}H\psi )=({\mathcal {U}}^{-1}{\mathcal {U}}\psi ,H\psi )=(\psi ,H\psi )$$

$$({\mathcal {U}}\psi ,H({\mathcal {U}}\psi ))=({\mathcal {U}}\psi ,{\mathcal {U}}H\psi )=({\mathcal {U}}^{-1}{\mathcal {U}}\psi ,H\psi )=(\psi ,H\psi )$$

Questo vale ovviamente se l'hamiltoniana commuta con l'operatore unitario.

Spoiler: manca qualcosa

Quello che abbiamo detto, e che diremo per tutto il capitolo, vale ovviamente per il momento angolare $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$ come lo abbiamo definito. Tuttavia, non è tutta la storia che dobbiamo raccontare: come vedremo meglio, a questo momento angolare se ne affianca un altro, intrinseco del sistema quantistico, detto di spin, e quindi si è soliti chiamare $\mathbf {L}$$\mathbf{L}$ come momento angolare orbitale per distinguerlo dal momento angolare del sistema, che risulterà essere la somma dell'orbitale e dello spin. Giusto per rovinarvi la sorpresa diciamo.