Atomo di idrogeno

Procediamo a testa bassa a sfondare il muro di cose che dobbiamo vedere. Il potenziale di Coulomb è in unità gaussiane. Sfruttando , l'equazione radiale è in questo caso:

Con . Come nel caso dell'oscillatore armonico cambiamo variabile in una adimensionale, scegliendo , oppure più semplicemente . Posto l'equazione diventa

La soluzione che dobbiamo cercare deve rispettare le classiche condizioni:

  •  ;
  • per grandi.

Applicando la prima condizione l'equazione diventa:

Per rispettare la seconda condizione, possiamo porre , con al massimo un polinomio. Applicando questa funzione, l'equazione diventa un'equazione differenziale in :

Anche questa equazione è tabulata. Come per l'oscillatore armonico allora tentiamo una serie di potenze per , dove dobbiamo però porre , altrimenti la soluzione non si comporterebbe come per . Applicando questa nell'equazione, troviamo la relazione sui coefficienti:

Ovviamente la serie non più avere infiniti termine, deve terminare a un certo punto in modo che l'esponenziale vinca per grandi valori di , quindi dovrà esserci un per cui . deve quindi essere uguale a un qualche intero, posto allora , troviamo che la serie termina per , da cui otteniamo anche che .

Le funzioni vengono chiamate polinomi di Laguerre e dipendono sia da che da . Al contrario, l'energia dipende solo da ; riprendendo la definizione di , otteniamo che , da cui ricaviamo i livelli energetici:

Può essere anche riscritta in termini di costanti note come con .

Per ogni possiamo avere che va da a e per ogni abbiamo possibili . Per questo, il numero di stati possibili con la stessa energia non è unico:

Questo vuol dire che c'è una degenerazione di livelli energetici, che capiremo meglio in futuro.

Transizioni e parità[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo come poter esprimere la possibilità che avvengano transizioni tra un livello e un altro. Come abbiamo visto nel capitolo 1, a una transizione è associato un prodotto scalare:

Quando l'integrando è dispari avremo ovviamente . Compiendo operazione di parità, supposto associato a e associato a , l'integrando viene moltiplicato per un fattore , quindi:

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