Procediamo a testa bassa a sfondare il muro di cose che dobbiamo vedere. Il potenziale di Coulomb è
in unità gaussiane. Sfruttando
, l'equazione radiale è in questo caso:

Con
. Come nel caso dell'oscillatore armonico cambiamo variabile in una adimensionale, scegliendo
, oppure più semplicemente
. Posto
l'equazione diventa
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}\chi +\left[-{\frac {\xi }{\rho }}+{\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}\right]\chi =-\chi }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b84b95582f80f8ef7a7a69759952ff342d6788e5)
La soluzione che dobbiamo cercare deve rispettare le classiche condizioni:
-
;
per
grandi.
Applicando la prima condizione l'equazione diventa:

Per rispettare la seconda condizione, possiamo porre
, con
al massimo un polinomio. Applicando questa funzione, l'equazione diventa un'equazione differenziale in
:

Anche questa equazione è tabulata. Come per l'oscillatore armonico allora tentiamo una serie di potenze per
, dove dobbiamo però porre
, altrimenti la soluzione non si comporterebbe come
per
. Applicando questa nell'equazione, troviamo la relazione sui coefficienti:

Ovviamente la serie non più avere infiniti termine, deve terminare a un certo punto in modo che l'esponenziale vinca per grandi valori di
, quindi dovrà esserci un
per cui
.
deve quindi essere uguale a un qualche intero, posto allora
, troviamo che la serie termina per
, da cui otteniamo anche che
.
Le funzioni
vengono chiamate polinomi di Laguerre e dipendono sia da
che da
. Al contrario, l'energia dipende solo da
; riprendendo la definizione di
, otteniamo che
, da cui ricaviamo i livelli energetici:

Può essere anche riscritta in termini di costanti note come
con
.
Per ogni
possiamo avere
che va da
a
e per ogni
abbiamo
possibili
. Per questo, il numero di stati possibili con la stessa energia
non è unico:

Questo vuol dire che c'è una degenerazione di livelli energetici, che capiremo meglio in futuro.
Vediamo come poter esprimere la possibilità che avvengano transizioni tra un livello e un altro. Come abbiamo visto nel capitolo 1, a una transizione è associato un prodotto scalare:

Quando l'integrando è dispari avremo ovviamente
. Compiendo operazione di parità, supposto
associato a
e
associato a
, l'integrando viene moltiplicato per un fattore
, quindi:
