Atomo di idrogeno

Procediamo a testa bassa a sfondare il muro di cose che dobbiamo vedere. Il potenziale di Coulomb è ${\frac {Ze^{2}}{r}}$${\frac {Ze^{2}}{r}}$ in unità gaussiane. Sfruttando $\chi =Rr$$\chi =Rr$, l'equazione radiale è in questo caso:

$$-\chi ''+\left(-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}+{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right)\chi =-\kappa ^{2}\chi$$

$$-\chi ''+\left(-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}+{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right)\chi =-\kappa ^{2}\chi$$

Con $-\kappa ^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$$-\kappa ^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$. Come nel caso dell'oscillatore armonico cambiamo variabile in una adimensionale, scegliendo $\rho ^{2}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}r^{2}$$\rho ^{2}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}r^{2}$, oppure più semplicemente $\rho =\kappa r$$\rho =\kappa r$. Posto $\xi ={\frac {2m\,Ze^{2}}{\kappa \hbar ^{2}}}$$\xi ={\frac {2m\,Ze^{2}}{\kappa \hbar ^{2}}}$ l'equazione diventa

$$-{\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}\chi +\left[-{\frac {\xi }{\rho }}+{\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}\right]\chi =-\chi$$

$$-{\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}\chi +\left[-{\frac {\xi }{\rho }}+{\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}\right]\chi =-\chi$$

La soluzione che dobbiamo cercare deve rispettare le classiche condizioni:

• $\chi {\xrightarrow {\rho \to 0}}\rho ^{l+1}$$\chi {\xrightarrow {\rho \to 0}}\rho ^{l+1}$ ;
• $\chi \sim e^{-\rho }$$\chi \sim e^{-\rho }$ per $\rho$$\rho$ grandi.

Applicando la prima condizione l'equazione diventa:

$$-l(l+1)\rho ^{l-1}+\left({\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}+1\right)\rho ^{l+1}=0$$

$$-l(l+1)\rho ^{l-1}+\left({\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}+1\right)\rho ^{l+1}=0$$

Per rispettare la seconda condizione, possiamo porre $\chi =\rho ^{l+1}\,F(\rho )\,e^{-\rho }$$\chi =\rho ^{l+1}\,F(\rho )\,e^{-\rho }$, con $F(\rho )$$F(\rho )$ al massimo un polinomio. Applicando questa funzione, l'equazione diventa un'equazione differenziale in $F(\rho )$$F(\rho )$:

$${\frac {d^{2}F}{d\rho ^{2}}}-2\left(1-{\frac {l+1}{\rho }}\right){\frac {dF}{d\rho }}+\left({\frac {\xi -2l-2}{\rho }}\right)F=0$$

$${\frac {d^{2}F}{d\rho ^{2}}}-2\left(1-{\frac {l+1}{\rho }}\right){\frac {dF}{d\rho }}+\left({\frac {\xi -2l-2}{\rho }}\right)F=0$$

Anche questa equazione è tabulata. Come per l'oscillatore armonico allora tentiamo una serie di potenze per $F=\sum _{s=0}^{\infty }a_{s}\,\rho ^{s}$$F=\sum _{s=0}^{\infty }a_{s}\,\rho ^{s}$, dove dobbiamo però porre $a_{0}\neq 0$$a_0\neq 0$, altrimenti la soluzione non si comporterebbe come $\rho ^{l+1}$$\rho ^{l+1}$ per $\rho \to 0$$\rho \to 0$. Applicando questa nell'equazione, troviamo la relazione sui coefficienti:

$$a_{s+1}={\frac {-\xi +2l+2+2s}{(s+1)(2l+2+s)}}a_{s}$$

$$a_{s+1}={\frac {-\xi +2l+2+2s}{(s+1)(2l+2+s)}}a_{s}$$

Ovviamente la serie non più avere infiniti termine, deve terminare a un certo punto in modo che l'esponenziale vinca per grandi valori di $\rho$$\rho$, quindi dovrà esserci un $a_{s}$$a_{s}$ per cui $2s+2(l+1)-\xi =0$$2s+2(l+1)-\xi =0$. $\xi$$\xi$ deve quindi essere uguale a un qualche intero, posto allora $\xi =2n$$\xi =2n$, troviamo che la serie termina per $2s=2(n-l-1)\geq 0$$2s=2(n-l-1)\geq 0$, da cui otteniamo anche che $n\geq l+1$$n\geq l+1$.

Le funzioni $F(\rho )$$F(\rho )$ vengono chiamate polinomi di Laguerre e dipendono sia da $l$$l$ che da $n$$n$. Al contrario, l'energia dipende solo da $n$$n$; riprendendo la definizione di $\xi$$\xi$, otteniamo che $\kappa _{n}={\frac {2m\,Ze^{2}}{\xi \hbar ^{2}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\hbar ^{2}}{m\,Ze^{2}}}$$\kappa _{n}={\frac {2m\,Ze^{2}}{\xi \hbar ^{2}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\hbar ^{2}}{m\,Ze^{2}}}$, da cui ricaviamo i livelli energetici:

$$E_{n}=-{\frac {m\,Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}\,n^{2}}}=-{\frac {1}{n^{2}}}\,13.6\,Z^{2}\,{\text{eV}}$$

$$E_{n}=-{\frac {m\,Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}\,n^{2}}}=-{\frac {1}{n^{2}}}\,13.6\,Z^{2}\,{\text{eV}}$$

Può essere anche riscritta in termini di costanti note come $E={\frac {-Z^{2}}{n^{2}}}{\frac {mc^{2}}{2}}\alpha ^{2}$$E={\frac {-Z^{2}}{n^{2}}}{\frac {mc^{2}}{2}}\alpha ^{2}$ con $\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}$$\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}$.

Per ogni $n$$n$ possiamo avere $l$$l$ che va da $0$$0$ a $n-1$$n-1$ e per ogni $l$$l$ abbiamo $2l+1$$2l+1$ possibili $m$$m$. Per questo, il numero di stati possibili con la stessa energia $E_{n}$$E_n$ non è unico:

$$\sum _{l=0}^{n-1}2l+1=2n{\frac {n-1}{2}}+n=n^{2}$$

$$\sum _{l=0}^{n-1}2l+1=2n{\frac {n-1}{2}}+n=n^{2}$$

Questo vuol dire che c'è una degenerazione di livelli energetici, che capiremo meglio in futuro.

Transizioni e parità

Vediamo come poter esprimere la possibilità che avvengano transizioni tra un livello e un altro. Come abbiamo visto nel capitolo 1, a una transizione è associato un prodotto scalare:

$$\mathbf {x} _{nm}=\int (\psi _{n})^{*}\mathbf {X} \psi _{m}$$

$$\mathbf {x} _{nm}=\int (\psi _{n})^{*}\mathbf {X} \psi _{m}$$

Quando l'integrando è dispari avremo ovviamente $|\mathbf {x} _{nm}|^{2}=0$$|\mathbf {x} _{nm}|^{2}=0$. Compiendo operazione di parità, supposto $l$$l$ associato a $\psi _{n}^{*}$$\psi _{n}^{*}$ e $l'$$l'$ associato a $\psi _{m}$$\psi _{m}$, l'integrando viene moltiplicato per un fattore $(-1)^{l+l'+1}$$(-1)^{l+l'+1}$, quindi:

$${\begin{aligned}&l+l'+1{\text{ pari }}\to {\text{ transizione permessa}}\\&l+l'+1{\text{ dispari }}\to {\text{ transizione proibita }}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&l+l'+1{\text{ pari }}\to {\text{ transizione permessa}}\\&l+l'+1{\text{ dispari }}\to {\text{ transizione proibita }}\end{aligned}}$$