Armoniche sferiche

Per potenziali del tipo l'origine rappresenta una singolarità evidente. Supponendo però i potenziali non siano troppo rigidi, come nel caso coulombiano, le funzioni d'onda possono essere ben descritte da polinomi moltiplicati per esponenziali decrescenti, come nel caso dell'oscillatore armonico. I polinomi in questo caso sono omogenei.

In coordinate sferiche un polinomio generico di grado è esprimibile come ; possiamo quindi imporre:

In questo caso può essere scritto anche come essendo una generica funzione dell'angolo, dove . Secondo questo limite, il comportamento delle funzioni d'onda è regolare vicino all'origine e, per potenziali non troppo cattivi, ci aspettiamo che sia corretto. Per potenziali più rigidi, come ad esempio , avremo una caduta sul centro, che corrisponde ad avere come livello fondamentale .

Consideriamo l'equazione di Schrödinger in coordinate sferiche scritta nella scorsa sezione e giriamo i termini, riscrivendola come:

Se il potenziale non è troppo singolare nell'origine, possiamo considerare il secondo termine nullo, e quindi:

Sfruttando la condizione sulle funzioni d'onda per distanze che tendono a zero, avremo:

Ovvero : abbiamo trovato che gli autovalori di sono interi pari a . Quindi il momento angolare è quantizzato e per ottenere questo risultato abbiamo solo sfruttato la definizione; questa regola vale ovviamente vicino all'origine.

Il problema è che le componenti del momento angolare generano rotazioni, mantenendo comunque il raggio costante; possiamo allora generalizzare la funzione d'onda come il prodotto tra una funzione radiale e una funzione angolare . Osserviamo a questo punto che:

Ovvero il momento angolare, mantenendo il raggio costante, non agisce sulla parte radiale della funzione d'onda. Questa relazione vale ovunque e non solo vicino all'origine, è una caratteristica intrinseca del momento angolare; nel limite per raggi piccoli riotteniamo il precedente risultato che, quindi, non vale solo per . Generalizzando possiamo quindi dire che:

Le autofunzioni del momento angolare sono quindi le con autovalori . Queste funzioni sono note come armoniche sferiche.

Equazione di Schrödinger radiale[modifica | modifica wikitesto]

Gli operatori commutano tra loro, quindi avranno autofunzioni comuni; non ci aspettiamo allora che le autofunzioni di siano qualcosa di diverso dalle armoniche sferiche; ricordando la definizione di in coordinate sferiche avremo quindi:

Dove è un qualche autovalore. Da questa relazione possiamo scrivere la forma generale delle armoniche sferiche:

Un'altra condizione che vale sulle armoniche sferiche è la periodicità, ovvero . Questo ci indica che gli autovalori di sono numeri interi.

Possiamo adesso riscrivere l'equazione di Schrödinger:

Questa è anche nota come equazione di Schrödinger radiale; notiamo come le armoniche sferiche escano fuori da tutti gli operatori che compaiono nell'equazione, semplificandosi. Questa equazione è ovviamente diversa dalla formulazione classica, anche perché abbiamo sostituito al momento angolare i suoi autovalori. Le armoniche sferiche restano vincolate dall'equazione

Il termine rappresenta la barriera centrifuga in un atomo o sistema dotato di potenziale; questa va sempre considerata, anche quando non lo abbiamo fatto, come nel caso del decadimento alpha.

L'equazione radiale ha caratteristiche note e coerenti con tutto quello che abbiamo detto finora. Per la regola di Born vogliamo che sia finita l'ampiezza della funzione d'onda, da cui

Possiamo quindi normalizzare tutto a 1 per ottenere delle ampiezze di probabilità; l'integrale radiale può essere riscritto come dove abbiamo posto ; sostituendola nell'equazione radiale otteniamo un risultato già noto:

Abbiamo riottenuto l'equazione di Schrödinger unidimensionale, solo che al posto del potenziale è presente il potenziale efficace con la caratteristica barriera centrifuga. Inoltre, avendo posto per , otteniamo che per lo stesso limite : questa condizione, con l'equazione appena trovata, formano un completo problema unidimensionale con condizione al contorno intrinseca.

Costruzione delle armoniche sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo come poter costruire le armoniche sferiche. Queste sono spesso definite in modi diversi, solitamente si è soliti indicarle con , dove è l'autovalore di e l'autovalore di :

Generalmente, poste queste come le autofunzioni del momento angolare, si può quindi scrivere la funzione d'onda come . Un'altra proprietà fondamentale nel calcolo delle armoniche sferiche è l'azione del laplaciano su queste:

Unendo tutte queste proprietà si possono costruire esplicitamente le funzioni a meno della fase; come vedremo, questa è scelta una volta per le armoniche sferiche e, di conseguenza, tutte le armoniche sferiche presentano poi una fase coerente con quella scelta. I polinomi sono omogenei di ordine nelle variabili tradotte in coordinate sferiche. Possiamo ridefinire queste come:

Come abbiamo già detto, la funzione in è un esponenziale complesso . Passiamo alla costruzione delle armoniche sferiche. Se consideriamo, ad esempio, , avremo un termine e un polinomio omogeneo, ad esempio di grado 2, che possiamo costruire utilizzando e . Ad esempio, è già un termine di secondo grado, e può rientrare tra i termini del polinomio, mentre è di grado 6 e non può essere preso in considerazione. Se allora chiamiamo il numero dei fattori in . Dall'equazione alle autofunzioni di ricaviamo che le armoniche sferiche devono contenere un numero di fattori in tali che .

Poiché il numero totale di fattori in tutte le variabili deve essere , il coefficiente è un intero positivo o negativo, che assume il massimo quando e il minimo quando . In conclusione il range è , ovvero ci sono valori di disponibili, corrispondenti a armoniche sferiche per ogni . Questo è algebricamente calcolabile.

Se contiamo il numero di polinomi indipendenti di grado omogenei, dobbiamo partire dal considerare che e, quindi, . Quindi il numero di polinomi sarà:

Questo è il numero totale di polinomi omogenei possibili, tuttavia non è l'unica condizione che abbiamo sulle armoniche sferiche: infatti ci fornisce un polinomio di grado che, ripetendo questo calcolo, sono in totale . Quindi il numero di polinomi indipendenti validi per costruire le armoniche sferiche sarà:

Esattamente come avevamo considerato.

Partiamo col calcolare le armoniche sferiche. Il caso più semplice è , e avremo:

Troviamo che quindi è una costante senza dipendenza dagli angoli. Appena saliamo di livello, con , abbiamo 3 possibilità: . La fase viene scelta a partire dall'armonica , che tuttavia non è la più facile da calcolare: la più facile infatti è sempre quella col massimo valore di , in questo caso. Per questa avremo un polinomio , dove con :

Per determinare la fase occorre calcolare l'armonica , che sarà data dal polinomio per avere la giusta fase in :

Lo stesso procedimento vale per , da cui si ricava che .

Per le armoniche di grado e superiori le cose funzionano allo stesso modo: avremo e così via; unica attenzione va posta alle armoniche del tipo , per le quali esistono diverse combinazioni possibili che ci forniscono la giusta fase in . Infatti, nel caso abbiamo due possibilità: . Per poterla calcolare allora poniamo e applichiamo la condizione del laplaciano :

Da cui ricaviamo , possiamo quindi porre e calcolare come prima l'espressione generale. Le armoniche del tipo sono semplici da calcolare, a patto che ci si ricordi i polinomi di Legendre: queste infatti sono definite come:

Dove sono i polinomi di Legendre. È riportata una tabella nelle appendici per le armoniche sferiche fino a a cui si affianca anche una tabella dei polinomi di Legendre.

Piccolo avvertimento: in alcuni libri di testo la fase è scelta in modo diverso, ad esempio alcuni riportano una fase ; del come la fase scelta per l'armonica definisca la fase per tutte le altre, lo vedremo in futuro parlando di somma di momenti angolari e operatori di scala.

Fisicamente, le armoniche sferiche descrivono gli orbitali atomici degli atomi: ad esempio, nell'atomo di idrogeno, "descrive" l'orbitale dell'elettrone con e ; come vedremo, una più accurata descrizione dell'elettrone è fornita quando entra in mezzo anche lo spin.

Uso delle armoniche sferiche oltre la meccanica quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Le armoniche sferiche non sono importanti solo in meccanica quantistica: in diverse branche della fisica sono utilizzate, come ad esempio per i potenziali gravitazionali o, in cosmologia, per studiare le anisotropie della radiazione cosmica di fondo. Nel capitolo 1 come esempio di radiazione di corpo nero avevamo descritto la radiazione cosmica di fondo, dicendo che, in ogni direzione, questa era sempre alla stessa temperatura di circa 3K, quando in realtà non è così, e sono presenti delle piccole anisotropie a seconda della direzione in cui si "punta" l'antenna. Queste anisotropie sono state prima ipotizzate teoricamente e poi confermate sperimentalmente.

Possiamo esprimere una variazione della temperatura di fondo dalla media come , e questa variazione, che dipende anche dalla posizione degli osservatori (che non possono trovarsi tutti sulla Terra (neanche in punti opposti di questa), perché sarebbero a distanze infinitesime per poter osservare le variazioni) è espressa come:

Le armoniche sferiche sono queste stesse armoniche sferiche che abbiamo trattato finora, ma non hanno nulla a che vedere con la teoria del momento angolare quantistico (sono infatti, al di là di tutto, oggetti matematici). I coefficienti sono detti coefficienti di multipolo. Le anisotropie della radiazione di fondo possono essere di diversa scala e di diverse cause, ad esempio anche il moto della Terra produce delle piccole anisotropie dalla temperatura media.

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