Decadimento alpha

Iniziamo a risolvere problemi particolari, che tratteremo meglio nel prossimo capitolo interamente dedicato ai potenziali unidimensionali. Ora tratteremo il problema del decadimento alpha.

C'è una possibilità, specialmente per nuclei pesanti, di emettere spontaneamente particelle alpha, fenomeno comunemente chiamato "decadimento alpha". Prima di poter trattare il problema, dobbiamo parlare del modello di potenziale da considerare.

Intorno al nucleo vi è un potenziale di tipo Coulombiano proporzionale a mentre all'interno del nucleo ci deve essere un potenziale tale da mantenere le particelle strettamente vincolate a corto raggio: una buca di potenziale. La forza che caratterizza questa "buca" è l'interazione forte, che tiene uniti i nucleoni ed è un'interazione a corto raggio. In figura 3.3 vediamo rappresentato lo schema del potenziale nucleare modificato, con il termine di Coulomb e la buca di potenziale.

Fig. 3.3

Abbiamo parlato di una particella α che si avvicina a un nucleo, anche se vogliamo in realtà studiare il decadimento, cioè un nucleo che produce una α; in realtà i due fenomeni sono quasi equivalenti: in ogni caso c'è anche una piccola probabilità che una α possa entrare o uscire dal nucleo, per via dell'effetto tunnel descritto nella sezione precedente. Come possiamo vedere dalla figura 3.3, più energia ha la particella, più stretta è la barriera di potenziale che incontra e, di conseguenza, maggiore è la probabilità che, per effetto tunnel, possa superarla e andare oltre. Poiché nella regione classicamente proibita avremo , la probabilità sarà ovviamente , dove l'integrale sull'impulso è valutato solo nella regione in cui si verifica l'effetto tunnel (ovvero quella in cui la particella è descritta da un'esponenziale negativo).

Facendo sempre riferimento alla figura 3.3, la probabilità che un' α entri o esca dal nucleo è quindi:

Possiamo esplicitare l'esponente e calcolarlo. Nei prossimi calcoli approssimeremo , e poniamo . Fattorizziamo l'esponente come , e procediamo col calcolare l'integrale per cambio di variabili:

Dove abbiamo operato il cambio di variabile e . L'esponente diventa quindi:

Concludiamo che la probabilità che una particella alpha esca dal nucleo è

Poiché è presente al denominatore, ci aspettiamo che l'esponenziale sia bassissimo. Possiamo ancora modificare questo valore: come vedremo subito la velocità delle alpha è , quindi possiamo di nuovo esplicitare (ricordando che ):

Dobbiamo tuttavia rivedere il nostro modello di nucleo: raggio del nucleo lo consideriamo pari a , e l'altezza della buca di potenziale in figura 3.3 è circa . Questa la uguagliamo all'energia della particella alpha (dove è la massa della particella):

Abbiamo il raggio della buca e la velocità della particella: possiamo calcolare la frequenza con cui la particella urta sulla parete:

Da questo si può ricavare il tempo caratteristico con cui avviene il decadimento alpha come .

Tutto questo discorso è diverso se non consideriamo : i calcoli si complicano e il risultato è:

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