Approssimazione classica

Approssimazione WKB[modifica | modifica wikitesto]

In questo capitolo tratteremo il metodo quasi-classico, meglio conosciuto come approssimazione WKB, da Wentzel-Kramers-Brilluoin, i nomi di chi per la prima volta ha ipotizzato questo studio (tutti e tre pubblicarono i loro risultati nel 1926, indipendentemente dagli altri). Come vedremo nella sezione successiva, questo scherzetto permette nonostante tutto di calcolare con precisione rilevante fenomeni reali come il decadimento alpha.

Passeremo dall'equazione di Schrödinger alle equazioni della meccanica classica imponendo come soluzione dell'equazione di Schrödinger la funzione con costante reale e azione del sistema (ricordiamo che ha le dimensioni di un'azione). Questa funzione possiamo riscriverla come:

Nel limite quasi classico ignoriamo tutti i termini in e superiori (che da qui in poi quindi non compariranno mai), considerando il limite . Applichiamo allora l'equazione di Schrödinger a questa funzione imponendo che ne sia soluzione; procedendo con il membro di destra:

Il membro di sinistra invece:

A questo va aggiunto il termine di potenziale . Uguagliando poi il membro di destra e quello di sinistra otteniamo l'equazione (nabla quadro a mi dà 0 perchè moltiplicando per \hbar^2/2m mi dà un termine di ordine superiore ad \hbar):

I termini in e devono essere uguali tra loro affinché sia valida questa uguaglianza. Partiamo dal termine : questo impone che sia vera la seguente espressione.

Ricordiamo la definizione di azione , da cui una variazione dell'azione corrisponde a . Possiamo esplicitare , e quindi risolvere l'integrale di variazione dell'azione:

L'integrale è nullo perché compare all'interno l'equazione di Eulero-Lagrange. Il primo termine invece è quello che conta: di solito si considerano fermi gli estremi e , ma se li lasciamo liberi di muoversi questa espressione diventa:

Quindi abbiamo ottenuto che . Sostituendo questa nell'espressione di , otteniamo l'equazione di Hamilton-Jacobi:

Quindi, se ci fermiamo all'ordine riotteniamo le equazioni della meccanica classica. Basta rifletterci un attimo per osservare che è un risultato per nulla scontato ma, tuttavia, sensato.

Passiamo invece all'ordine ; l'equazione che deve essere valida è:

Abbiamo moltiplicato entrambi i membri per perché siamo pazz... Perché conviene, infatti in questa forma possiamo riscrivere tutto come:

Osservando l'espressione di imposta all'inizio del nostro ragionamento appare evidente che , e quindi possiamo riscrivere questa equazione come:

Chiamando , sostituendo a e a , otteniamo:

Ovvero un'equazione di continuità per la probabilità in versione classica. Possiamo riprendere l'espressione della corrente di probabilità e applicarla alla funzione d'onda che stiamo esaminando adesso, giusto per vedere se tornano i calcoli:

Le cose tornano, come dovevamo aspettarci.

Metodo di Hamilton-Jacobi[modifica | modifica wikitesto]

Risolviamo il metodo di Hamilton-Jacobi ignorando totalmente l'evoluzione temporale del sistema. Possiamo porre, per quanto abbiamo visto finora, , da cui ricaviamo . Ancora, avremo . Risolviamo in una dimensione questo problema:

Da cui otteniamo anche che . Sostituendo nella funzione d'onda:

Sovrapponendo le soluzioni otteniamo l'espressione generale della funzione d'onda . Resta da determinare le due costanti di normalizzazione . Per queste sfruttiamo l'equazione di continuità poco prima trovata:

Dall'ultima espressione ricaviamo che ; questo ha senso fisico: più è alta la velocità della particella, più bassa sarà la probabilità di trovare la particella da qualche parte, per cui ha senso la normalizzazione. Detto questo, abbiamo trovato la soluzione all'equazione di Schrödinger sfruttando il metodo semi-classico:

Studiamo adesso questa funzione d'onda. È indubbiamente un'onda piana, sovrapposizione di onde regressive e progressive. In particolare però, cosa risolviamo?

Consideriamo un potenziale qualunque, in questo caso le particelle interagiscono con questo e non assumono più la forma di onde piane. Se infatti l'impulso non dipende dalla posizione , dall'integrale verrebbe fuori una costante qualsiasi per la posizione , esattamente come un'onda piana. Qualora l'impulso dipendesse dalla posizione, invece, avremmo funzioni ben più complicate.

Fig. 3.1: in rosso il potenziale e in verde le diverse configurazioni di energia. Le croci indicano i punti di inversione del moto, secondo la meccanica classica.

Immaginiamo adesso una situazione simile a quella della figura 3.1; abbiamo due casi ben distinti: l'energia della particella è maggiore del massimo del potenziale o è minore. Anche qui avremo situazioni diverse: infatti, quando l'energia della particella è maggiore del massimo del potenziale,la meccanica classica ci fornisce due fenomeni diversi. Per una particella, se questa ha energia maggiore del potenziale, non ne risente minimamente e continua dritta per la sua strada, ignorandolo; un'onda, invece, viene trasmessa e riflessa. In meccanica quantistica la particella viene trasmessa e riflessa, anche se ha energia superiore al massimo del potenziale.

Nel caso in cui , invece, abbiamo situazione ben distinte: in meccanica classica c'è un punto di inversione del moto, dove la particella "urta" il potenziale e viene rispedita indietro. In meccanica quantistica le cose si fanno leggermente imbarazzanti, infatti avremo un impulso ; poiché nell'intervallo compreso tra i due punti di inversione del moto, avremo che l'impulso è un immaginario puro. La funzione d'onda allora sarà:

Fig. 3.2

L'esponenziale positivo scompare perché, per la condizione di Schrödinger, le funzioni d'onda devono essere tutte nulle all'infinito. Quindi, dopo il punto di inversione del moto la particella smette di essere un'onda piana e si comporta come un'esponenziale negativo. In figura 3.2 è presentato uno schema molto semplificato di come questa condizione, se la barriera di potenziale non è molto ampia, possa permettere alla particella di superare la barriera di potenziale nonostante abbia energia minore: è il caso dell'effetto tunnel, sperimentalmente verificato e ben chiaro con l'approssimazione WKB.

Condizione per WKB[modifica | modifica wikitesto]

Riassumendo le cose, abbiamo trovato due soluzioni differenti dell'equazione di Schrödinger utilizzando il metodo semi-classico, partendo dalla soluzione proposta , trovando le soluzioni:

Con . È lecito chiedersi quando possiamo applicare questa approssimazione senza troppi sentimenti: sviluppando in serie ci siamo fermati al primo ordine in , considerando ovviamente il limite per . Il requisito minimo affinché allora possiamo ignorare tutti i termini quadratici o superiori è che . I due termini li abbiamo precedentemente scritti, deve quindi essere:

Posto , questa condizione si traduce col porre . Questa condizione ovviamente può essere verificata solo conoscendo il potenziale; allo stesso modo, se conosciamo la lunghezza caratteristica con cui varia il potenziale possiamo anche approssimare la condizione di approssimazione (se qualcosa scricchiola nel vostro cervello avete sbagliato facoltà), ottenendo:

Questa è una condizione minima per poter procedere col metodo semiclassico. Se il potenziale quindi varia con lunghezze caratteristiche molto piccole (tipico dei potenziali singolari), non possiamo approssimare nel limite classico l'equazione di Schrödinger.

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