La meccanica matriciale di Heisenberg

Le proposte di Heisenberg[modifica | modifica wikitesto]

Facciamo un passo indietro, abbandonando le ipotesi ondulatorie, per introdurre gli studi di Werner Heinsenberg. Egli partì dal problema dell'atomo di Bohr procedendo con un approccio oscuro e totalmente diverso, per poter capire il perché i livelli energetici fossero discreti e perché i fotoni emessi avessero una frequenza pari a .

Dalla teoria classica dell'elettrodinamica sappiamo la potenza irraggiata da una carica elettrica accelerata, che è pari a:

Questo era il problema principale dell'atomo di Bohr: gli elettroni non irraggiavano. Heisenberg, per studiare le transizioni tra due livelli energetici scrive tutto in termini di vettori complessi, quindi possiamo scrivere:

L'asterisco indica il complesso coniugato; questi vettori indicano l'ampiezza della transizione. Secondo Heisenberg, più è grande più è alta la possibilità che avvenga la transizione. Per Heisenberg la potenza va considerata in ogni transizione tra i livelli e e propone un ansatz (ovvero un'idea), cioè che:

In questa abbiamo considerato . Questa è una semplice proposta, nulla da dimostrare. Possiamo allora riscrivere la potenza irraggiata in una transizione:

Considerate le medie temporali e le frequenze realistiche delle transizioni i termini quadratici non sono importanti. L'espressione della potenza diventa quindi:

Questa allora si può utilizzare per calcolare i rate di diseccitazione degli atomi:

Tutto questo però è oscuro, che roba so sti , cose a caso...? Intervenne Max Born, il quale propose a Heisenberg che questi fattori altro non fossero che elementi di matrici. Heseinberg accettò la proposta, allargandola e proponendo che fossero realizzazione di operatori hermitiani, in sintesi i vettori sono del tipo:

Operatori impulso e posizione[modifica | modifica wikitesto]

Avendo posto possiamo scrivere l'impulso utilizzando la formula classica , ottenendo quindi .

Abbiamo detto che questi non sono altro che matrici, quindi possiamo scrivere il prodotto come un prodotto righe per colonne:

In questo caso di sappiamo solo che un set di intero e corrisponde ai livelli energetici, quindi non sappiamo quanti sono, ma sappiamo solo essere discreti. Questa espressione si può semplificare come fece lo stesso Heisenberg:

Nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato l'hermitianità degli operatori per cui .

Possiamo fare la stessa cosa per il prodotto ; infatti non è detto che siano uguali, perché non è scontato che due matrici (o operatori) commutino tra loro:

Il fattore è identico a , ma (infatti differiscono di un segno). Andando a sottrarre otterremo:

Si vide che questa differenza è in realtà proporzionale a , possiamo quindi scrivere, in termini di operatori vettoriali (che quindi hanno come autovalori dei vettori) :

Con indichiamo la matrice identità. Gli operatori impulso e posizione, quindi, non commutano; infatti, i due operatori sono così definiti:

Questi non sono quindi impulso e posizione classici: in quel caso avremmo potuto invertire l'ordine senza problemi, ma in questo caso l'impulso è un operatore differenziale, e quando opera su agisce su , che non da lo stesso risultato di . Poiché quindi posizione e impulso non commutano, in meccanica quantistica non ha senso parlare ne di spazio delle fasi ne di traiettorie. Questo non è un problema dovuto all'osservatore o agli errori di misura di un esperimento, è una caratteristica intrinseca della funzione d'onda.

Operatori ed elementi di matrice[modifica | modifica wikitesto]

Cosa sono gli elementi di matrice? Schrödinger affronta il problema in maniera diretta, chiedendosi: cosa è ? In che senso ?

Egli propose che ogni elemento di matrice derivasse dalla soluzione di:

Dove è una qualsiasi variabile. In parole, l'elemento di matrice è l'azione dell'operatore sullo stato , poi proiettato sullo stato (o viceversa). L'aver potuto fattorizzare la parte temporale dalla parte spaziale nella funzione d'onda ci permette di scrivere:

Ora la transizione di Heinseberg assume un significato diverso: l'elemento di matrice ci fornisce l'ampiezza della transizione, dove con ampiezza di transizione indichiamo la probabilità che la transizione avvenga (ne discuteremo meglio nella prossima sezione).

Operatori hermitiani[modifica | modifica wikitesto]

La definizione di operatore hermitiano è:

Per esempio, l'operatore posizione è hermitiano:

Gli operatori hermitiani, oltre ad avere un'importanza rilevante in tutta la teoria quantistica, sono molto comodi proprio per la loro caratteristica di poter passare a destra e a sinistra del prodotto scalare senza particolari controindicazioni, oltre ad avere autovalori reali.

Assumiamo adesso che l'operatore hamiltoniana visto nella sezione precedente sia hermitiano, allora potremo scrivere:

Se , avremo che l'energia è un operatore hermitiano, e ha quindi autovalori reali. Ora, che l'energia abbia autovalori complessi non si è mai vista come cosa, quindi ci aspettiamo che l'hamiltoniana sia proprio un operatore hermitiano. Questa è definita come:

Il potenziale è un qualsiasi potenziale, e ci interessi solo che sia hermitiano affinché l'hamiltoniana lo sia. Resta quindi da vedere se il laplaciano è un operatore hermitiano. Scriviamo:

Integriamo adesso sul volume dello spazio e applichiamo il teorema della divergenza:

Se il volume si estende su tutto lo spazio, l'integrale di superficie è nullo. Le funzioni sono dei prototipi per le funzioni d'onda , che rispettano la condizione di Schrödinger di essere nulle all'infinito. Da questo ricaviamo che:

Ovvero il laplaciano è hermitiano quando è soddisfatta l'equazione di Schrödinger. Da questo ricaviamo che anche gli operatori hamiltoniana e energia sono hermitiani e hanno autovalori reali: da questo punto in poi quindi non li indicheremo più con un trattino sotto, e considereremo e così via per gli altri operatori hermitiani.

Da questa informazione ricaviamo alcune notizie sulle funzioni d'onda che sono le autofunzioni dell'energia; per queste valgono due regole: la prima è che possono sempre essere normalizzate per avere:

Questo è accessorio e può essere fatto o meno, ma come vedremo nella prossima sezione è molto conveniente farlo. Una caratteristica non accessoria è che due funzioni d'onda associate a due diversi autovalori dell'energia sono ortogonali:

Ah, non lo avevamo detto, ma quando scriviamo il simbolo di integrale senza estremi si intende l'integrale su tutto lo spazio. Giusto per saperlo.

Prodotto righe per colonne[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo vedere se funziona il prodotto righe per colonne, che abbiamo usato a inizio sezione. Presi due operatori vogliamo vedere che:

Possiamo adesso sempre scrivere:

Questa espressione ci dice che stiamo sviluppando la funzione sull'insieme delle autofunzioni dell'operatore , moltiplicate per alcuni coefficienti; l'indice scorre sulle autofunzioni. Posto questo, possiamo allora esplicitare:

Dove è la delta di Kronecker che vale 1 se , 0 altrimenti. Ricaviamo da questo calcolo che , quindi:

Allora possiamo lasciar agire anche l'operatore :

Questo lo sostituiamo nel prodotto scalare che vogliamo verificare fin dall'inizio:

Quindi il prodotto righe per colonne funziona, non vi abbiamo venduto fumo quando abbia visto che gli operatori impulso e posizione non commutano.

 PrecedenteSuccessivo