La catastrofe ultravioletta

La radiazione di corpo nero e la formula di Planck[modifica | modifica wikitesto]

Tra gli aspetti più studiati dalla fisica negli ultimi anni del XIX secolo vi era la radiazione di corpo nero. Prendiamo una cavità (per comodità la consideriamo cubica di lato ) ad alta temperatura, densa di radiazione elettromagnetica e studiamo la densità di energia di radiazione in un volume infinitesimo per frequenze comprese tra e alla temperatura , comunemente nota come ; questa era stata misurata sperimentalmente, quindi si cercava una trattazione teorica che concordasse con i dati.

Un calcolo classico di questa radiazione lo si deve a Lord Rayleigh. Si può pensare che all'interno del volume vi siano radiazioni descrivibili come moti ondulatori di frequenza di modo normale e che nel loro complesso siano descritti dalla serie di Fourier di tali oscillazioni.

Poiché il cubo è di lunghezza finita, così come la lunghezza d'onda della radiazione, si ha che lo spigolo deve essere un multiplo intero della lunghezza d'onda da cui si ricava . Per lo stesso motivo, anche le condizioni ai bordi saranno ben definite .

Il vettore è un vettore di interi. Oltre ciò, vanno considerate le due possibili polarizzazioni della radiazione. Dall'ottica si ha che:

Ogni modo normale occupa un volumetto nello spazio dei vettori pari a (corrispondente alla superficie di una sfera; se integrato, restituisce il volume della sfera), quindi potremo scrivere il numero dei modi normali compreso tra le frequenze e , in breve come:

Il fattore 2 a moltiplicare è giustificato dalle due possibili polarizzazioni della radiazione elettromagnetica; in questo modo abbiamo calcolato il numero dei modi normali compresi tra le frequenze interessate.

Dalla meccanica statistica, ad ogni sistema assimilabile a una somma di oscillatori armonici in cui può essere definita univocamente una temperatura si associa un'energia che risulta essere, semplicemente, proporzionale alla temperatura stessa tramite la costante di Boltzmann; in formule risulta l'espressione semplice , che deriva dalla risoluzione di:

Abbiamo adesso tutti gli ingredienti per poter calcolare la densità di energia volumica : questa sarà l'energia di ogni modo normale, moltiplicata per il numero dei modi normali, tutto ovviamente mediato sul volume della scatola (che abbiamo posto per comodità ):

Questa è anche nota come formula di Rayleigh-Jeans. La formula dipende da e, nonostante concordasse con i dati per le basse frequenze, quando si passava ad alte frequenze le cose non tornavano: infatti, supposto che nella cavità vi siano tutte le frequenze possibili, integrando su queste otterremo ovviamente infinito per la dipendenza da mentre sperimentalmente si verifica che la radiazione per alte frequenza si annulla.

Il calcolo classico non sembrava avere difetti di sorta, e l'incongruenza suscitò così tanto scalpore da essere passata alla storia come catastrofe ultravioletta. A risolvere il problema intervenne Max Planck nel 1900, il quale propose la funzione seguente, nota come formula di Planck, per risolvere l'incongruenza:

Questa formula non ha un ragionamento dietro o una dimostrazione a supporto: non è altro che un aggiustamento manuale della formula classica da parte di Planck. Infatti, per basse frequenze, dove la formula classica funzionava bene, si può espandere l'esponenziale al denominatore come , riottenendo la formula classica:

Ad alte frequenze l'esponenziale al denominatore tende ad abbassare la radiazione e i dati risultarono in perfetto accordo con questa formula, permettendo anche di ricavare la costante che viene chiamata costane di Planck, pari a:

Questa formula funziona particolarmente bene; oltre a interpolare alla perfezione i dati sperimentali, infatti, l'energia totale di radiazione non diverge:

Per risolvere l'integrale operiamo per sostituzione di variabile, ponendo , da cui e ; andando a sostituire, otteniamo:

Quindi, abbiamo ottenuto una formula che funziona bene, resta solo da capire perché funziona. Planck stesso provò a giustificare la sua formula paragonando l'energia al burro: nel mondo ne esiste a tonnellate, ma viene venduto solo a pacchetti da 200 grammi. In parole più fisiche, Planck ipotizzava che l'energia fosse continua, ma che lo scambio di energia dovesse avvenire solo per pacchetti.

L'ipotesi di Einstein[modifica | modifica wikitesto]

Einstein invece estremizzò questa ipotesi, affermando che non è lo scambio di energia a essere quantizzato, ma che l'energia stessa lo fosse, e che a ogni frequenza di radiazione corrispondesse un pacchetto di energia ; per una data frequenza ci sono "quanti di luce", che poi verranno chiamati fotoni, per cui si associa a quella frequenza l'energia . Per la fisica classica l'energia era una quantità continua: si poteva assorbire o emettere energia in modo continuo senza alcun vincolo, quindi questa ipotesi faceva cadere uno dei capisaldi della fisica per come era allora conosciuta, e all'inizio non venne presa sul serio.

Lo stesso Einstein confermò la quantizzazione dell'energia tramite l'effetto fotoelettrico: colpendo un metallo con radiazioni, si vide che, al di sotto di una frequenza minima non accadeva nulla; quando invece questa frequenza minima veniva superata, si riuscivano ad estrarre elettroni dal materiale, e questi elettroni avevano proprio energia pari a

Possiamo calcolare l'energia media di ogni fotone, semplicemente dividendo l'energia totale per l'energia caratteristica; teniamo conto in questo calcolo della quantizzazione di Einstein: non ci saranno più integrali bensì sommatorie.

Dove abbiamo considerato ; osserviamo che questa energia media è diversa da quella che abbiamo poco fa ricavato seguendo il calcolo classico.

Con questo calcolo si spiega anche la presenza di un fattore nella formula di Planck: un fattore ci è dato dalla formula classica della radiazione di corpo nero, mentre il restante termine ci viene dall'energia media dei fotoni; in sintesi, l'ipotesi di Einstein spiega anche la legge di Planck.

L'esistenza dei fotoni venne confermata dall'effetto Compton: usando raggi X, ovvero fotoni molto energetici assimilabili a proiettili che venivano sparati sulle particelle di un gas, si studiava l'urto tra fotone ed elettrone in maniera relativistica, e i risultati sperimentali confermarono queste previsioni teoriche. Vediamolo in breve.

La prima legge da tener conto è la conservazione dell'energia: un fotone di energia urta un elettrone, che consideriamo fermo, con energia : da questa interazione ne esce un fotone con diversa energia e un elettrone in movimento:

L'altra legge che entra in gioco è la conservazione dell'impulso; consideriamo un versore che ci indica semplicemente la direzione in cui viaggia il fotone; l'elettrone è fermo prima dell'urto:

Da questa relazione ricaviamo l'impulso dell'elettrone e lo inseriamo nella conservazione dell'energia; posto , dove è l'angolo di scattering del fotone, possiamo trovare la frequenza del fotone scatterato dopo l'urto:

Un caso particolare è quando , in questo caso si ha , dove è detta lunghezza d'onda Compton e vale:

Tutte queste previsioni teoriche furono confermate sperimentalmente, dando un'ulteriore prova dell'esistenza dei fotoni e, quindi, della quantizzazione dell'energia.

Radiazione di corpo nero in funzione della lunghezza d'onda[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo anche riscrivere la densità di radiazione in funzione della lunghezza d'onda, posto ; avremo quindi . In questo ci andrebbe un segno negativo davanti, ma se le frequenze si integrano da a , le lunghezze d'onda andrebbero integrate da a : invertendo gli estremi di integrazione questo segno scompare, ottenendo:

Anche questa ha un equivalente classico, nota col nome di formula di Rayleigh:

La curva descritta dalla ha un massimo assoluto, che si ha in corrispondenza della lunghezza d'onda (a temperatura ambiente); la coda della curva va all'infinito poi come . Variando la temperatura, il picco si sposta; questo non è un effetto casuale: l'energia cresce linearmente con la temperatura , ma la proporzi0onalità con la lunghezza d'onda è inversa ; mettendo assieme le due cose, otterremo che .

Esempi e applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Esempio (1.1)

Vogliamo calcolare il numero di fotoni contenuti tra due diverse lunghezze d'onda a una temperatura fissata . Partendo dalla densità di radiazione possiamo ottenere il numero di fotoni compreso tra due diverse lunghezze d'onda e :

Operando di nuovo lo stesso cambio di variabili , da cui ricaviamo , otteniamo:

Integrando otterremo:

L'energia totale di radiazione, che abbiamo calcolato, ci permette adesso di ricavare l'energia media di ogni singolo fotone:

 

La radiazione di corpo nero non soltanto riguarda esperimenti in laboratorio con scatole di radiazione: un esempio perfetto in questo caso è la radiazione di fondo del Big Bang.

Esempio (1.2 Radiazione di fondo del Big Bang)

Gamow eAlpher, a cavallo degli anni '40 e '50 del secolo scorso, stimarono che la radiazione di fondo dell'universo dovesse avere diverse temperature: prima 5K, poi 6K, poi Gamow rifece i calcoli ottenendo 50K. Tutti questi calcoli erano in realtà sbagliati. Penzias e Wilson, negli anni '60 costruirono un'antenna per lo studio di comunicazione satellitare, osservando un costante rumore di fondo a una lunghezza d'onda di circa ; in qualsiasi direzione puntassero l'antenna il rumore era presente sempre allo stesso modo: stavano osservando per la prima volta la radiazione cosmica di fondo, la luce primordiale dell'universo. Questo rumore di fondo si distribuisce alla perfezione, con un errore vergognosamente piccolo, come una radiazione di corpo nero. Fittando i dati sperimentali si ricavò la temperatura della radiazione: circa 3K. Questa radiazione di fondo esisteva da quando esisteva l'universo stesso: era stata generata fin dall'inzio. L'interpretazione dei cosmologi fu che, nei primi istanti di vita di dell'universo, questo fosse pieno di fotoni molto energetici, che impedivano la formazione di elementi più pesanti. La cosa strana di tutto ciò era proprio la temperatura.

3K sembrano essere molto, molto pochi per essere in accordo con la teoria che, all'inizio, la radiazione fosse molto energetica. La soluzione pensata fu che, espandendosi, le dimensioni dell'universo fossero state tutte scalate; questa dilatazione genera una sorta di effetto Doppler sulle lunghezze d'onda, scrivibile come , dove con consideriamo la scala di dilatazione dell'universo. Quindi, tutti i volumi scalano di un fattore ; le energie dei fotoni scalano come e, quindi, ci si aspetta che la densità di energia volumica scali di un fattore . Possiamo allora scrivere :

Sostituendo in questa , da cui otteniamo:

Questa è la formula di Planck, con una temperatura diversa e pari a . Quindi, l'universo, espandendosi, ha abbassato la propria temperatura dello stesso fattore con cui si sono dilatate le lunghezze. Essendo l'universo veramente molto ampio, e ipotizzando che all'inizio fosse concentrato in dimensioni piccole, il fatto che la sua temperatura sia circa 3K non sorprende poi così tanto.

È lecito chiedersi come mai ci siano in giro per l'universo ancora i fotoni primordiali; la risposta è che non tutti i fotoni primordiali diedero vita a particelle più pesanti come elettroni e positroni, ma alcuni sopravvissero, continuando a girare indefinitamente. Più l'universo si espandeva, più la loro energia diminuiva, fino a raggiungere il punto in cui non possedevano energia sufficiente a creare altre particelle: a questo punto, l'unico modo di convertirsi diventa quello di essere assorbiti da un nucleo. Quando l'energia scende ancora più in basso, il fotone è costretto a girare per un tempo indeterminato nell'universo: infatti la vita di un fotone libero nel vuoto è indefinita.

 
Esempio (1.3)

Vogliamo semplicemente calcolare la densità di energia per litro di radiazione cosmica; sfruttando la densità di radiazione già calcolata, otteniamo un valore di circa:

 
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