L'ipotesi di de Broglie e l'equazione di Schrödinger

Un'altra delle idee che rinnovarono il modo di pensare la fisica e la natura stessa è di de Broglie, il quale cercava di trovare una spiegazione al postulato di Bohr sulla quantizzazione del momento angolare. L'idea è semplice: come la luce ha una doppia natura ondulatoria e corpuscolare, anche gli elettroni (e le particelle in generale) si comportano sia come onde che come corpuscoli. Che gli elettroni potessero essere delle onde non sembrava plausibile, tuttavia questa ipotesi fu poi confermata dagli esperimenti sulla diffrazione di Germer, Davisson e Thomson.

Classicamente, possiamo scrivere un'onda piana come:

Inoltre, de Broglie sosteneva che la quantità fosse un quadrivettore. Per gli elettroni era già noto il quadrivettore . La base su cui è un quadrivettore è che, come sosteneva de Broglie, vale la relazione:

Di queste erano già note le relazioni per i fotoni:

Da questo punto in poi si iniziò a parlare di onda dell'elettrone, studiando la diffrazione e l'interferenza degli elettroni, che sono studi alla base della fisica dello stato solido.

Tutto questo servì a de Broglie per spiegare la quantizzazione del momento angolare di Bohr; supponendo che l'elettrone compisse un moto circolare, l'onda dell'elettrone risulta essere un'onda stazionaria tale che , ovvero la circonferenza percorsa dall'elettrone è un multiplo intero della sua lunghezza d'onda. Poiché , si riottiene il postulato di Bohr .

Ma che vuol dire che l'elettrone ha caratteristiche ondulatorie? Infatti l'elettrone è localizzato, mentre le onde piane sono dei concetti totalmente delocalizzati per definizione; tuttavia si può sempre costruire un pacchetto d'onda (consideriamo il caso unidimensionale per semplicità, nel caso a tre dimensioni è esattamente la stessa cosa solo che compaiono i vettori):

In questa espressione la funzione si chiama modulazione e definisce la "forma" e l'espressione matematica del pacchetto d'onda.

I pacchetti d'onda possono essere riscritti in termini di tutte le variabili del problema semplicemente effettuando le varie trasformate di Fourier. Sviluppando l'espressione della pulsazione in Taylor attorno al valore otterremo ; la funzione d'onda acquisirà l'espressione:

Supponendo adesso che la funzione si trovi, al tempo nell'origine , la funzione che otterremo è ben lontana dall'essere un'onda piana. A tempi successivi la funzione si troverà nella posizione soddisfatta dall'equazione , ovvero in ; questa viene chiamata velocità di gruppo del pacchetto d'onda:

Sostituendo otterremo:

Quindi, la descrizione tramite onde piane degli elettroni non rappresenta un problema così grande, basta creare dei pacchetti d'onda che si muovono con un propria velocità di gruppo.

Alle ipotesi di de Broglie seguirono esperimenti che studiavano le figure di scattering degli elettroni, che risultano simili ai raggi x.

Cosa sono, rispetto a , l'energia e l'impulso ? Possiamo entrambi ottenerli dalla funzione d'onda semplicemente operando:

Si può risolvere questo sistema di equazioni differenziali, la soluzione sarà:

Inoltre, da questo sistema otteniamo due informazioni fondamentali: gli operatori impulso e energia possono essere espressi come e . Vedremo successivamente come lavorare con questi operatori.

La funzione d'onda può quindi essere fattorizzata tra parte spaziale e parte temporale. Questo discorso, tuttavia, non vale per tutti i problemi in cui si studia la funzione d'onda, ma vale solo per quei problemi modellizzabili con onde piane, ovvero solo per particelle libere. Come vedremo quando studieremo l'atomo d'idrogeno, troveremo un'espressione ben diversa.

L'equazione di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

Cosa succede quando l'elettrone interagisce con un potenziale qualsiasi? Erwin Schrödinger risolse questo problema ricavando un'equazione differenziale che, secondo lui, dovesse essere l'equazione del moto dell'elettrone nell'atomo di idrogeno. L'equazione di Schrödinger è un'equazione classica: lui voleva ottenere un'equazione relativistica, ma facendo i calcoli si ritrovò cose strane, come masse negative e cariche opposte, abbandonando quindi questo tentativo e ripiegando nel caso "semi-classico". Paul Dirac, pochi anni dopo, pubblicò i suoi studi sulla meccanica quantistica relativistica: le cose strane che si ritrovava Schrödinger non erano errori di calcolo, solo cose strane come antimateria e antiparticelle. L'equazione di Schrödinger per una particella libera è una semplice riedizione delle ipotesi di de Broglie, ovvero del sistema di equazioni differenziali in cui compaiono per la prima volta gli operatori impulso e posizione:

Essendo una riedizione dei risultati di de Broglie, l'onda piana risolve questa equazione differenziale. L'operatore non è altro che l'hamiltoniana (l'operatore è il laplaciano); questa equazione quindi non uguagli altro che l'hamiltoniana di un sistema alla sua energia, per farla facile. In questo caso, però, l'hamiltoniana, l'energia, l'impulso e la posizione sono operatori lineari che si comportano in un determinato e specifico modo.

Quando la particella interagisce con un potenziale cambia anche la sua hamiltoniana, e quindi l'equazione di Schrödinger sarà diversa:

Il potenziale va sostituito, di volta in volta, col potenziale del particolare sistema fisico che si sta studiando; vedremo successivamente delle soluzioni all'equazione. Questa equazione vale per particelle non libere: risolvendola si trova una funzione d'onda che non può in alcun modo essere un'onda piana.

Schrödinger pose due condizioni fondamentali a questa equazione. La prima è che la funzione è a valore singolo, ovvero è un funzione; la seconda invece è:

Ovvero tutte le funzioni d'onda sono nulle all'infinito; per fare un paragone classico, in questo caso Schrödinger non ha fatto altro che estremizzare il problema della corda vibrante a una lunghezza infinita. Tuttavia questa semplice condizione ha conseguenza fondamentali per tutta la fisica moderna.

L'idea di Schrödinger era quella di rimpiazzare tutte le ipotesi precedenti, quelle di de Broglie e di Bohr, con questa equazione differenziale. Egli risolse l'equazione differenziale inserendo il potenziale di Coulomb , e trovò un risultato sorprendente: la soluzione trovata rispetta le condizioni all'equazione solo per determinati livelli discreti di energia, pari a:

(in questa espressione è la costante di struttura fine, è una costante adimensionale e compare in quasi tutte le teorie moderne della fisica). Questi livelli energetici non sono altro che quelli dell'atomo di Bohr. Quindi l'idea di Schrödinger di sostituire questa equazione alle ipotesi precedenti funziona: le idee di Bohr infatti, come abbiamo già detto, trovano conferma negli esperimenti di spettroscopia. Questo fa, quindi, della teoria di Schrödinger una teoria apprezzabile e valida, e comunemente è indicata come teoria ondulatoria della meccanica quantistica.

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