L'interpretazione della funzione d'onda: l'ipotesi probabilistica di Born

Alla fine della storia, che roba è ? Qual è il significato fisico associato alla funzione d'onda? Questa, come abbiamo visto, assume la forma di un'onda piana per particelle libere, diverse forme per diversi problemi poi a seconda del potenziale con cui interagisce la particella. Quindi, che senso ha?

Diverse furono le interpretazioni, e la prima fu dello stesso Schrödinger, il quale, in una maniera semiclassica, interpretò la funzione d'onda come un'onda di pressione in un fluido, come delle onde che si propagano su una superficie d'acqua. Questa interpretazione però non corrisponde esattamente al comportamento delle particelle come notò subito Max Born, studiando le figure di diffusione degli elettroni, che si presentano nettamente diversa dalla diffusione classica.

Quando infatti una particella libera, matematicamente descrivibile come un'onda, scattera su un'altra particella l'onda da piana diventa sferica: lo scattering avviene in tutte le direzioni, ed è come se si fossero formati infiniti fronti d'onda piana. Questo significa che, se interpretiamo la funzione d'onda come una perturbazione in un fluido, dovremmo avere un po' di particella da una parte, un po' da un'altra e così via. Tuttavia nei detector si riscontrava sempre e solo un elettrone intero, che poteva trovarsi in qualsiasi direzione. Di certo non stiamo smembrando l'elettrone per lanciarne pezzettini a destra e a manca, cosa sta succedendo?

Born interpretò in un modo completamente diverso il problema, e tutt'oggi la sua interpretazione dà diversi grattacapi ai filosofi: la funzione d'onda, secondo Born, non è legata in alcun modo a una perturbazione e non ci dice quanto della particella si trovi in al tempo , bensì ci indica la probabilità di trovare la particella in al tempo .

Quindi alla funzione d'onda è associata una densità di probabilità:

Ovviamente consideriamo il modulo quadro della funzione d'onda, per evitare funzioni complesse. Però anche qui qualcosa scricchiola, infatti sappiamo che l'evoluzione temporale della funzione d'onda è data da , che è deterministica e ha ben poco a che fare con la probabilità. Tuttavia funziona, funziona alla grande, e questa interpretazione ha avuto delle conseguenze incredibili nello svilupparsi della fisica moderna e contemporanea.

Affinché sia una densità di probabilità dobbiamo ovviamente porre la condizione ontologica per eccellenza, ovvero che la particella esiste:

Sappiamo che le autofunzioni di operatori hermitiani possono essere normalizzate: questa ipotesi ci impone di farlo.

Potremmo provare a studiare come varia nel tempo la probabilità; ci aspettiamo ovviamente che resti costante nel tempo, altrimenti ci staremmo raccontando un sacco di balle, e infatti:

Possiamo fare di più, possiamo addirittura introdurre una corrente di probabilità e ricavare un'equazione di continuità per la probabilità. Poniamo e vediamone l'evoluzione temporale:

Moltiplichiamo adesso per , ottenendo l'operatore energia; sappiamo, dall'equazione di Schrödinger, che , e , otterremo:

Abbiamo quindi ottenuto una corrente di probabilità definita come:

Per cui, la probabilità è conservata nello spazio e nel tempo e ce lo assicura la legge di continuità: se ad esempio la probabilità di trovare una particella in un volume diminuisce nel tempo è perché c'è evidentemente un "flusso di probabilità" fuori dal volume, ovvero cresce la probabilità di trovare la particella fuori dal volume considerato.

Possiamo sempre scrivere una funzione d'onda come sovrapposizione di autofunzioni di un sistema completo:

Con i coefficienti . Sfruttando questa proprietà possiamo procedere ad esprimere la probabilità in termine dei coefficienti delle autofunzioni. Ricordando che e , avremo:

Da questa ricaviamo immediatamente che . Quindi, ognuno dei coefficienti ci indica la probabilità che, misurando un osservabile, questo si trovi nello stato associato .

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