Funzioni razionali e frazioni algebriche

In questo capitolo vogliamo estendere i calcoli elementari appresi nell'insieme dei polinomi dove sappiamo già sommare e sottrarre i polinomi fra di loro come anche formare il loro prodotto. Ben diversa è la situazione della divisione!

Questa operazione alcune volte risulta, per così dire, perfetta altre volte la divisione non si può fare e allora? Il tutto si traduce, esattamente come si è visto già nell'insieme dei numeri interi Z, nell'aggiungere un nuovo insieme di elementi per poter eseguire i calcoli: quando usavamo i numeri abbiamo introdotto Q ora usando i polinomi introdurremo l'insieme delle frazioni algebriche.

Quoziente fra polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Come sopra accennato ora il problema è quello di capire come eseguire la divisione tra due polinomi. Distinguiamo innanzitutto due casi:

  1. il polinomi dividendo (futuro numeratore) ha grado n maggiore o uguale del polinomio divisore (futuro denominatore) che pensiamo essere pari a d  :
  2. caso opposto

CASO 1.[modifica | modifica wikitesto]

Se . In questo primo caso è possibile eseguire una divisione ottenendo in generale un polinomio che ha grado pari alla differenza fra i due gradi con l'aggiunta di un resto che è un elemento NON polinomiale ma appartenente a questo nuovo insieme detto delle frazioni algebriche.

dividendo = divisore × quoziente + resto
dividendo : divisore = quoziente + resto
2124 : 9 = 236
2126 : 9 = 236 + resto 2
polinomio con + frazione algebrica

Vediamo come si può procedere all'esecuzione di una divisione fra due polinomi:


Divisione generale fra due polinomi.


CASO 2.[modifica | modifica wikitesto]

Se . In questo secondo caso possiamo dire che la frazione polinomiale è propria e che dunque a meno di semplificazioni eseguite mediante cancellazione dei fattori comuni fra numeratore e denominatore essa non si può ulteriormente scomporre.

Quando siamo in questo caso la prima cosa da farsi è quella di scomporre in fattori primi il polinomio al numeratore così pure quello al denominatore, fatto questo lavoro possiamo procedere se sarà possibile ad una semplificazione verticale. Lo stesso ragionamento lo si fa nel caso in cui moltiplichiamo o dividiamo fra di loro due frazioni algebriche con l'aggiunta della semplificazione diagonale.

Come fattorizzare un polinomio?[modifica | modifica wikitesto]

Per fattorizzare un polinomio dobbiamo percorrere la strada inversa a quella che abbiamo imparato nel fare i prodotti fra i polinomi!

La fattorizzazione si realizza trovando via via tutti i binomi che dividono perfettamente il nostro polinomio di partenza; questi binomi saranno pensati del tipo . Sappiamo che in generale la divisione fra due polinomi può produrre un resto se invece il resto non c'è allora possiamo dire che il polinomio un multiplo del divisore.

Senza procedere per tentativi esiste un modo molto semplice per verificare se un dato binomio risulti essere sottomultiplo del polinomio dividendo. Spieghiamo questo con un esempio:

Sia dato il seguente polinomio di 2° e vogliamo vedere se questi risulti un multiplo di da cui si vede che . Proviamo a sostituire il valore di a nel polinomio:

e questo è sufficiente per dire che il binomio dato non è sottomultiplo. Proviamo ora con sostituendo si avrà:

Ora si che possiamo dire senza ombra di dubbio che il binomio divide perfettamente il nostro polinomio.

Ruffini[modifica | modifica wikitesto]

  • Teorema del resto: P(a)=(a-a)Q(a)+R
  • Teorema di Ruffini o della divisibilità (corollario del Teorema del resto)
  • Regola di Ruffini o metodo dela divisione semplificata

Teorema del resto . Se abbiamo diviso un polinomio per il binomio (x-a) e dunque il polinomio di partenza si può scrivere come (x-a)Q(x) + R allora se valutiamo P(a) ciò che otteniamo è il valore del resto R.

  • Q è quoziente completo se
  • Q è quoziente incompleto se

Teorema di Ruffini. Un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se il resto è nullo e quindi P(a)=0. In questo modo diventa possibile determinare la divisibilità per un binomio (x-a) senza eseguire la divisione.

Regola di Ruffini o della divisione semplificata

Questo metodo ci consente di semplificare lo schema della divisione fra polinomi imparata all'inizio di questo capitolo.

Frazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio di grado 2 è dato dalla seguente scrittura che esprime un processo di calcolo costituito essenzialmente dalle sole operazioni di moltiplicazione, somma algebrica ed elevamento a potenza 2. Tratteremo di soli polinomi numerici ovvero i cui coefficienti sono dei veri numeri reali e non delle lettere (parametri).

Un polinomio a coefficienti numerici può essere valutato per un certo valore scelto per la lettera , ad esempio: , da calcolarsi per

Per la valutazione numerica del calcolo si dovrà procedere alla sostituzione della lettera con il suo corrispondente numero utilizzando le parentesi tonde: .

Se la valutazione numerica del polinomio di 2 grado fosse necessaria per una lista di valori della ovvero possiamo pensare ad un tipico insieme di calcolo come

Grafico del polinomio 2°[modifica | modifica wikitesto]

Le radici della parabola sono calcolabili con la seguente formula:

l'ascissa del vertice


Operazioni con le frazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Come nell'insieme dei numeri razionali 'Q' si possono eseguire le 4 operazioni algebriche così anche nell'insieme delle 'frazioni algebriche'

Le funzioni razionali[modifica | modifica wikitesto]

Questo argomento ci parla delle frazioni costruite con i polinomi

dove al numeratore troviamo un polinomio di grado mentre al denominatore il polinomio di grado . Le funzioni razionali si dicono

  1. razionali intere, sono i polinomi
  2. razionali fratte, sono le frazioni propriamente dettte

Quoziente fra due polinomi[modifica | modifica wikitesto]

  • Definzione: un polinomio
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