Modello di Wilson-Sommerfeld

Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld[modifica | modifica wikitesto]

Il lavoro di Wilson e Sommerfeld tenta in primo luogo di giustificare il postulato di quantizzazione del momento angolare presente nel Modello di Bohr rendendolo conseguenza di una teoria più ampia. Avendo presente il formalismo di Hamilton essi proposero una regola di quantizzazione legata alle variabili coniugate. Se in un sistema è presente una coordinata generalizzata periodica nel tempo, dato il suo momento coniugato , deve valere la seguente regola, nota come la regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfeld:

L'integrale è inteso sul periodo di , il valore è chiamato numero quantico ed è un numero intero. Ciò significa che tale integrale può assumere solamente valori che sono multipli interi della costante di Planck .

Quantizzazione di Bohr[modifica | modifica wikitesto]

Dala regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfeld è possibile derivare la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr. Consideriamo un elettrone che ruota intorno al nucleo atomico seguendo un orbita di raggio r.

WS1.jpg

Per il moto circolare scegliamo come coordinata generalizzata l'angolo . La forza agente è quella di Coulomb:

L'energia cinetica dell'elettrone è . Possiamo dunque scrivere la Lagrangiana del sistema:

Dove è il potenziale Coulombiano.

Calcoliamo ora il momento coniugato :

Dove è la velocità tangenziale dell'elettrone. Notiamo dunque che è proprio il momento angolare dell'elettrone che, essendo la forza di Coulomb una forza centrale, è costante. Possiamo quindi procedere al calcolo dell'integrale:

Applicando la regola di quantizzazione otteniamo quindi:

Che è proprio la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr come postulato.

Oscillatore armonico[modifica | modifica wikitesto]

Dall'applicazione della regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfeld si può derivare anche la quantizzazione dell'energia di un oscillatore armonico ipotizzata da Planck. Consideriamo infatti un oscillatore armonico di costante elastica . Si può procedere come nel paragrafo precedente: utilizzando come coordinata generalizzata la distanza x dall'origine, scriviamo l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema:

Scriviamo quindi la Lagrangiana:

Da cui possiamo calcolare :
Possiamo ora costruire l'Hamiltoniana del sistema:
Da cui:
Poichè l'Hamiltoniana coincide con l'energia del sistema , dunque:
Da ciò si può costruire lo spazio delle fasi, infatti risolvendo per si ottiene:

WS2.jpg

Otteniamo quindi gli estremi di integrazione della variabile x dalle condizioni di esistenza della radice:

Dovendo integrare sul periodo consideriamo positivo da -c ad c e negativo da c fino a -c. Tale scelta è giustificata dallo spazio delle fasi ellittico. Calcoliamo quindi l'integrale:

Procediamo alla risoluzione calcolando prima l'integrale indefinito:

Procediamo con la sostituzione , segue che . Procedendo otteniamo:

Sostituendo gli estremi di integrazione e proseguendo con i calcoli si ottiene:

Ricordando che otteniamo:
Applicando la regola di quantizzazione otteniamo:
come ipotizzato da Planck.

Particella in una scatola[modifica | modifica wikitesto]

Il modello della particella nella scatola è un'applicazione della regola di quantizzazione che mostra come una particella confinata possa assumere solo livelli di energia multipli di una quantità discreta, ovvero abbia energia quantizzata.

Trattazione monodimensionale

Consideriamo in primo luogo il caso monodimensionale di una particella vincolata a muoversi sull'asse x in una regione di spazio compresa tra l'origine e un certo punto :

WS3.jpg


La coordinata generalizzata è banalmente l'ascissa della particella e il momento coniugato non è altro che il momento della particella. Il moto è periodico, la particella infatti si muove tra una parete e l'altra invertendo il verso del moto ogni volta che raggiunge i punti o . Possiamo quindi procedere a calcolare:

Segue che:
Dunque il momento della particella è quantizzato. Da questo segue la quantizzazione dell'energia della particella, infatti:

Trattazione tridimensionale

Il caso tridimensionale è una semplice estensione del caso monodimensionale, consideriamo una particella confinata in una regione di spazio di lati . Il principio di Wilson e Sommerfeld afferma che:

con .

Segue quindi che e l'Energia diventa:

Se inoltre .

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