Distribuzione delle velocità

Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla velocità quadratica media, e quindi all'energia media, ma non dice nulla riguardo alla distribuzione delle velocità delle molecole.

La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima volta da Maxwell nel 1859.

Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in equilibrio termico a temperatura T. L'obiettivo è valutare quante molecole hanno la componente x della velocità compresa tra e , la componente y compresa tra e e la componente z tra e . Questo numero sarà esprimibile nella forma , dove è la funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita.
Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:[1]

  1. isotropia dello spazio
    • la funzione può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, , possono comparire solo nella combinazione .
    • Le componenti sono indipendenti e quindi la funzione può essere fattorizzata:
  2. ipotesi di gas perfetto
    • la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria cinetica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che .

Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della rispettando il vincolo . Questo problema può essere facilmente risolto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare il logaritmo della funzione F.
dove rappresenta la funzione da massimizzare e è il moltiplicatore del vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità, le altre sono analoghe.

In effetti la funzione ottenuta può essere considerata come funzione distribuzione di probabilità per la variabile . Ora, la condizione di normalizzazione è valida per qualunque distribuzione di probabilità; inoltre abbiamo supposto valido il teorema di equipartizione, per cui possiamo scrivere il seguente sistema:

Risolviamo la condizione di normalizzazione, che può essere riscritta, utilizzando la forma esplicita di , come: . L'integrale che compare è un integrale di "tipo Gauss", la cui risoluzione è per motivi di chiarezza riportata nelle note.[2] Qui ci limitiamo a dire che il risultato è , da cui si ottiene
Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore .
Abbiamo visto che la funzione di distribuzione per è ; ora imponiamo che la media statistica di secondo tale distribuzione sia pari a .

Dove nella prima uguaglianza abbiamo fatto uso della definizione di media statistica.

Abbiamo di nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.[3]. Il risultato è . Definitivamente si ha quindi

L'espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l'asse x è dunque:
Questa forma funzionale corrisponde ad una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni analoghe, e che , si ha per

Osservazione
  • Il fatto che , ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l'isotropia dello spazio ipotizzata. Posso passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza.
    Moltiplicando per N, numero di molecole, ottengo la funzione
    che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa tra e .
  • L'esponente di contiene un termine di energia cinetica e un termine termico.
 

Studio della maxwelliana[modifica | modifica wikitesto]

La funzione appena introdotta è nota con il nome di funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann, o anche semplicemente maxwelliana, di cui ci proponiamo di studiare alcune caratteristiche.

  1. massimo
    rappresenta la velocità più probabile
  2. velocità media

Questo integrale è nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e lo risolviamo nelle note.[4] Basti qui sapere che vale , con . Dunque

3. velocità quadratica mediaNon svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando l'integrale che esprime . Si ha:

Osservazione
  •  : le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità più probabile
  • .
  • piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle d'azoto nell'aria, a temperatura ambiente?
 

Maxwell distribution.png

Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell[modifica | modifica wikitesto]

Esperimento di Stern: il selettore di velocità[modifica | modifica wikitesto]

Il fisico tedesco Otto Stern pensa ad un esperimento per verificare la validità della teoria di Maxwell. L'apparato sperimentale è costituito da un forno in cui è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori. Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di un angolo . Detta la velocità angolare dei due dischi, l'intervallo di tempo necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi anche attraverso la seconda è . Solo le molecole dotate di una velocità riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore P, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la funzione

Esperimento stern.gif

In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente su quelle contenute nel forno. Infatti ad uscire dal forno sono le molecole più veloci, perchè hanno maggiore probabilità di uscire. L'andamento sperimentale che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno, detto effusione. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e apportare la necessaria correzione.

Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area A, ortogonale all'asse z, è praticato un piccolo foro. Sia il numero di particelle per unità di volume presenti nella scatola e aventi velocità inclinata di un angolo rispetto all'asse z. In un tempo Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume . Poichè questo vale indipendentemente dalla direzione di v, si devono considerare tutte le molecole che hanno (sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell'angolo solido , ossia . La distribuzione che esprime il numero totale di molecole aventi che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la parete e quindi uscire dal foro è quindi data da:

considerando l'effusione la distribuzione cambia forma. Infatti va come mentre come . Ecco perchè il foro seleziona le velocità più grandi. Poichè i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione, si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza modificare la forma di

Si noti che la velocità quadratica media è maggiore della velocità quadratica media della maxwelliana, dunque il grafico sarà spostato verso destra.

Allargamento doppler termico[modifica | modifica wikitesto]

I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove verso l'osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler l'allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade.

Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso l'osservatore, la radiazione emessa risulta spostata ad una frequenza più alta. Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore. Per velocità termiche non relativistiche, l'effetto Doppler in frequenza assume la forma:

dove è la frequenza osservata, la frequenza a riposo, è la velocità della particella verso l'osservatore, e è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l'asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è gaussiana:
Allora la distribuzione delle frequenze sarà:
che è sempre una gaussiana, centrata in e deviazione standard . Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga. Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza ():

Dall'allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell'emettitore.
  1. Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann
  2. Il nostro integrale è di questo tipo: . Con la costante faccio una sostituzione di variabili
    . Questo integrale appartiene alla classe degli integrali . A partire da , che abbiamo appena ricavato essere , si possono ricavare per ricorrenza tutti gli di indice pari. Infatti si ha che
  3. A partire dalla relazione di ricorrenza
    possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere , che ora calcoliamo.
    Possiamo ora calcolare facilmente :
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