Teoremi di Green Stokes e della divergenza

Esercizio 11.1

Consideriamo una curva di equazione polare:

con . Se è il dominio limitato tale che

  1. si dimostri che l'area di vale:
  2. Calcolare l'area racchiusa dalla curva con .
 

Scelte le coordinate

osserviamo che la curva ha equazioni parametriche:
con .
Allora
Trasformo questo integrale doppio in un integrale di linea con il teorema di Gauss-Green. Poniamo:
Risolvo le equazioni differenziali:
allora
Sostituisco l'espressione polare della curva, tenendo conto che:
Nel caso si ha:

Esercizio 11.2

Calcolare il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie del solido

in modo diretto e con il teorema della divergenza. Il versore normale alla superficie dev'essere orientato verso l'esterno della superficie.

 

Calcolo diretto: uso direttamente la definizione di flusso: .

è un paraboloide, e ne considero l'interno (). Il paraboloide viene tagliato ad altezza e il solido complessivo assomiglia ad una scodella.

La superficie esterna di ha due parti: il paraboloide di equazione (che chiamo e ha equazioni parametriche ) e la parte di piano (che chiamo e ha equazioni parametriche ).

Il versore normale a è diretto come l'asse z, mentre quello normale a è diretto dalla parte opposta.
Parametrizzo la frontiera di :
quindi
(l'elemento d'area )
quindi
Invece, le equazioni parametriche del paraboloide sono:
e siccome bisogna scegliere il versore normale orientato in senso esterno:
Passo a coordinate polari:
Allora il flusso totale è dato dalla somma dei flussi attraverso le due parti di superfici:
Calcolo con il teorema della divergenza:
Il teorema della divergenza afferma:
Integro per strati: per definisco la sezione
cioè è un cerchio di centro l'origine e raggio .
L'integrale interno è l'area del cerchio di centro l'origine e raggio .

Esercizio 11.3

Si consideri la curva

orientata in modo tale che la sua proiezione sul piano sia percorsa in senso antiorario. Calcolare
sia direttamente sia usando il teorema di Stokes.

 

Calcolo diretto: la curva è intersezione di due superfici:

  1. è l'equazione di un piano.

Quindi la curva è data dall'intersezione tra il cilindro e il piano ed è una curva chiusa.

Alllora per parametrizzare la curva pongo:

Quindi ottengo:
Sostituisco quest'espressione nell'integrale:
Calcolo con il teorema di Stokes: Invece di calcolare direttamente l'integrale del flusso, calcolo:
In questo caso la curva è , vogliamo quindi cercare una superficie il cui bordo sia la curva

Scelgo come superficie la parte di piano contenuta nel cilindro ellittico, e il suo bordo coincide con la curva in di equazione : Parametrizzo la superficie come:

allora
Per il teorema di Stokes:
Simbolicamente
e scrivendo come integrale doppio e tenendo conto che:
ottengo
con
Tenendo conto che l'area dell'ellisse è pari a ottengo:

Esercizio 11.4

Sia un campo vettoriale di classe definito in un qualsiasi insieme contenente la sfera .

Dimostrare che il flusso del rotore di uscente dalla superficie della sfera unitaria è nullo.

 

Le equazioni parametriche della superficie sferica sono

con e . Per il teorema di Stokes, calcolare il flusso attraverso la superficie equivale a calcolare l'integrale
Il dominio parametrico della superficie è ed è un rettangolo. Scegliamo un'orientazione antioraria.
Scrivo le espressioni delle quattro componenti della curva, e poi ne faccio l'immagine attraverso le equazioni parametriche della sfera.
Il bordo della superficie sferica è il trasformato del bordo di mediante le equazioni parametriche , quindi .
Per il teorema di Stokes
ma gli integrali su e , che sono punti, sono nulli, allora rimane:
e questi due integrali sono uguali ed opposti, allora il flusso attraverso la superficie sferica è nullo.

Esercizio 11.5

Calcolare il flusso di attraverso la frontiera del solido

 

è compreso tra i grafici di due piani: e , quindi ho una regione z-semplice.

Il solido ha come proiezione sul piano un quadrato ed è un poliedro di sei facce.
In questo caso conviene usare il teorema della divergenza.
e calcolo l'integrale al secondo membro.
Integro per fili rispetto a :
Risolvo questo integrale per sostituzione ponendo , , cioè:
Allora lo jacobiano della trasformazione è:
Allora l'integrale diventa:
quindi
Se considero l'equazione:
sottraendo a tuti i membri ottengo:

quindi
Allora l'integrale diventa:
Integrando per parti:

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