Funzioni implicite

Esercizio 6.1

Sia data

si verifichi che l'equazione
definisce implicitamente in un intorno del punto con . Si dimostri che è un punto di minimo locale per .

 

Verifico che l'equazione definisce il grafico di una funzione nel punto , e quindi verifico le tre condizioni enunciate sopra:

  1. è di classe , (allora anche la funzione implicita lo è).

Allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema della funzione implicita.

Verifico che è un punto di minimo. In questo caso, l'equazione che definisce diventa:

quindi applico la formula in .
Quindi:
e questa è una condizione necessaria affinché sia un punto di minimo per . A questo punto, è un punto di minimo se la derivata seconda è positiva, altrimenti è negativa.

Osservazione 6.1

Tenendo conto che è regolare, ricaviamo la derivata seconda dalla condizione

Derivando la relazione si ottiene:
ed esplicitando :
e si ricava l'equazione . Derivando ulteriormente si può ricavare l'espressione della derivata seconda.

 

Considerando l'esempio:

e derivando rispetto a :
Derivando ulteriormente:
e valutando in , con , e , ottengo:
allora è un minimo.

Esercizio 6.2

Sia definita come:

  1. Sia tale che e . E' vero che definisce implicitamente in un intorno del punto ?
  2. Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione -definita implicitamente da in un intorno del punto .
  3. Trovare tutti i punti tali che ma in cui il teorema del Dini non garantisce l'esistenza di .
 
  1. Verifico se soddisfa le ipotesi del teorema del Dini: sappiamo già che è di classe e che . Allora il teorema del Dini è applicabile se .
    Allora per ogni punti con e con è applicabile il teorema del Dini.
  2. è soluzione di ed è della forma con . Allora per il punto 1 in un intorno di si ha
    Scriviamo lo sviluppo di Taylor di f: dobbiamo quindi ricavare le espressioni di e .
    Derivando una volta rispetto a :
    e tenendo conto che e :
    Derivo ancora per ricavare :
    Si può quindi scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 associato a :
    cioè
  3. Voglio determinare punti in cui e in cui non sia applicabile il teorema del Dini, cioè tali che .
    Inoltre, siccome dev'essere si ha:
    cioè
    e sostituendo nell'espressione che esprime in funzione di :
    quindi l'unico punto in cui il teorema di Dini non è applicabile e in cui è
Esercizio 6.3

Verificare che il sistema

definisce implicitamente una curva di equazioni parametriche
in un intorno del punto e scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in .

 

In questo caso si ha una funzione . Si vogliono esplicitare e in funzione di .

Verifico che il sistema

definisce una curva . Verifico le ipotesi del teorema del Dini:

  1. è di classe in ;
  2. valutando in si ha:
    quindi .
  3. Per verificare la terza condizione scrivo la matrice:

Allora il teorema della funzione implicita è applicabile, ed è possibile definire la curva:

Osservazione 6.2

La retta tangente alla curva passa per , e ha coefficiente angolare , quindi ha equazione:

 

Tenendo conto che si ha:

Ponendo per la sua derivata si ha:
Quindi
Invece
ed è il vettore .

Allora la retta tangente ha equazioni:



Osservazione 6.3

Alternativamente, senza procedere con le matrici, si considera il sistema:

Derivando ottengo:
e valutando l'espressione in trovo un sistema lineare in e .

 


Esercizio 6.4

E' data l'equazione:

Si richiede di verificare che in un intorno del punto l'equazione
definisce implicitamente una superficie di equazione . Scrivere l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto .

 

Vogliamo esplicitare in funzione di e . Verifichiamo le ipotesi del teorema del Dini:

  1. è di classe
  2. Si ha quindi .

Allora il teorema della funzione implicita è applicabile e definisce implicitamente la superficie cercata.

Osservazione 6.4

Il piano tangente alla superficie nel punto si trova immediatamente con la formula:

in quanto passa per ed è perpendicolare a , che è diretto come il versore normale al piano tangente.

 

In questo caso bisogna risolvere l'equazione:

Allora:
cioè è l'equazione del piano tangente nel punto .

Esercizio 6.5

Sia una funzione continua tale che . Verificare che il sistema:

definisce implicitamente la curva:
in un intorno del punto .

Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva nel punto e discutere la massima regolarità che si può garantire per la funzione implicita.

 

Verifico le ipotesi del teorema del Dini:

  1. Siccome è continua la funzione integrale è di classe , quindi è di classe in .
  2. Per la terza ipotesi, vogliamo verificare che la matrice jacobiana rispetto alle variabili della funzione sia invertibile.
    quindi la matrice è invertibile e il teorema del Dini è applicabile.

Massima regolarità garantita: Se è di classe , la funzione implicita è di classe . In questo caso, senza ulteriroi ipotesi è al più di classe , e lo stesso vale per la funzione implicita. 402

Retta tangente: Vogliamo trovare . Vale la relazione:

Inverto la matrice trovata prima:
Invece:
e valutando in , siccome ho il vettore colonna
In conclusione, svolgendo il prodotto ottengo il vettore:
allora l'equazione della retta tangente è:




Esercizio 6.6

Sia la curva definita implicitamente dal sistema

in un intorno di . Si determini il versore tangente a in .

 

Il versore tangente ha espressione:

con
Quindi

Esercizio 6.7

Si studi la funzione definita implicitamente dalla relazione

 

Questa relazione è ben definita se e solo se e quindi se e solo se , cioè se e oppure per e .

Per il teorema del Dini segue che:

con
La funzione ottenuta è definita anch'essa per , e
cioè
e questo è sempre vero per .
La derivata della funzione si annulla se (ma qui la funzione non è definita), oppure quando
e anche questo non è possibile se , quindi la derivata della funzione non ha punti stazionari.

Inoltre, la derivata nel complesso è negativa, quindi la funzione è decrescente negli intervalli e in . Supponiamo che

sia finito, allora, in questo caso si ha necessariamente e quindi segue che . Allora, per la relazione che definisce si può riscrivere come:
ma questo non è possibile perché mentre il primo membro tende a infinito, il secondo membro è una quantità finita, allora si ha necessariamente e in particolare per monotonia . Analogamente, .

Esercizio 6.8

Si studi la funzione definita implicitamente dalla relazione

 
  1. Derivata prima: Ponendo
    si ha:
    quindi, per il teorema del Dini, la derivata della funzione definita implicitamente dalla relazione è:
  2. Punti stazionari:I punti stazionari della funzione sono quelli per cui:
    e quindi i punti tali che . Sfrutto la relazione deinitoria per trovare i punti della forma . Deve valere:
    Allora l'unico punto tale che è , ed è l'unico punto stazionario per la funzione.
  3. Positività della derivata: La derivata è positiva per , e negativa per , cioè la funzione è decrescente quando sta sopra la retta e crescene quando sta sotto questa retta.
  4. Limiti della funzione: Supponiamo che
    sia finito, allora sostituendo nella relazione definitoria si avrebbe:
    e si ha una contraddizione perché il primo membro tende a mentre il secondo membro è finito, quindi .Calcoliamo ora
    Supponiamo che sia finito, allora considerando la relazione in questo caso non si ha nessuna contraddizione, perché , e quindi sia il primo che il secondo membro sono finiti. Anche il secondo membro dev'essere uguale a 0, e quindi si avrebbe:
    e quindi
    La funzione ha un asintoto orizzontale per .
  5. Derivata seconda: Derivo due volte la relazione definitoria per trovare la derivata seconda:
    quindi
    Valutando la derivata seconda in si ha:
    quindi è un punto di minimo per .


Esercizio 6.9

Sia .

  1. Si dimostri che in un intornodi coincide con il grafico di una funzione .
  2. Si scriva lo sviluppo di Taylor del secondo ordine (con il restodi Peano) di centrato in .
  3. Si verifichi che è un punto di massimo locale per .
 

Verifico le ipotesi del teorema del Dini. Pongo

  1. è di classe .
  2. , infatti:
  3. , infatti:

allora esiste un intorno di tale che sia il grafico di una funzione .

Derivando una volta la relazione rispetto a ottengo

da cui si ottiene:
e valutando in ottengo:
Derivando due volte la relazione definitoria ottengo:
e sostituendo le espressioni di ottengo:
Allora lo sviluppo di Taylor centrato in di è
Osservo che , cioè è un punto stazionario per la funzione, inoltre e quindi è un punto di minimo per .

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