Serie di potenze

Richiami teorici[modifica | modifica wikitesto]

definizione
Le serie di potenze sono del tipo

con successione numerica positiva, e ponendo si ottiene la serie centrata in .

convergenza puntuale
La serie di potenze centrata in 0 converge in un intervallo simmetrico rispetto a 0 del tipo con . In particolare se la serie converge solo nel punto , mentre se la serie converge ovunque. La convergenza è sempre garantita nell'intervallo aperto ma non è noto il comportamento della serie negli estremi dell'intervallo.
convergenza uniforme
la serie converge uniformemente e totalmente in ogni sottointervallo del tipo con , e la somma della serie di potenze è di classe .
teorema di Abel
Supponiamo di sapere che nel punto c'è convergenza. Allora c'è convergenza

uniforme in tutto l'intervallo estremi inclusi.

Il raggio di convergenza è tale che con

o alternativamente con

Esercizi[modifica | modifica wikitesto]

Esercizio 13.6

Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie:

 


Per determinare il raggio di convergenza applico il criterio del rapporto.

quindi (ricordare che è una forma di indecisione, e che vale il limite notevole con ).


Di conseguenza la convergenza puntuale è garantita in . Studio i casi .

Applico il criterio del rapporto alla serie ottenuta

Considero il fatto che:

e perché la successione è crescente. Allora perché e la serie non converge.


Lo stesso vale per .


Quindi c'è convergenza puntuale nell'intervallo , e quindi la serie converge uniformemente in ogni intervallo del tipo con .


Esercizio 13.7

Considerare la serie

e studiarne la convergenza.

 

La serie data è una serie di potenze con

Applico il criterio del rapporto:

Osservo che per , , , quindi il limite vale 1, e .


Per ottengo la serie , che converge per il criterio di Leibniz: infatti è una serie a segni alterni, con termine generale definitivamente positivo e tendente a 0, e decrescente.


Per , si ottiene la serie

e siccome , questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica, che non converge.


Si conclude che c'è convergenza puntuale in , c'è convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo con , inoltre per il teorema di Abel, siccome la serie converge puntualmente in , allora converge uniformemente in . Allora c'è convergenza uniforme in tutti gli intervalli del tipo .


Osservazione 13.1

Dimostriamo un risultato generale. Considero la funzione , somma di una serie in . Supponiamo che ci sia convergenza uniforme in e che il teorema di Abel garantisca anche la convergenza in . Verifichiamo che allora c'è convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo .

 
Dimostrazione

Dimostrare che c'è convergenza uniforme equivale a mostrare che:

Sappiamo che:
e sappiamo che le due quantità al secondo membro tendono a 0, perché c'è convergenza uniforme in e in per ipotesi. Allora anche il primo membro tende a 0.


Questo ragionamento è applicabile per tutte le serie.

 


Esercizio 13.8

Calcolare

 


Sappiamo che

dove nell'ultimo passaggio si tiene conto che è somma della serie geometrica di radice per , ponendo e .


Le serie di potenze si possono integrare termine a termine, allora, per ogni :

La serie converge uniformemente in con , allora vale che l'integrale della serie è la serie dell'integrale, quindi possiamo scrivere che:
Ma sappiamo che
Allora
Allora
Quest'ultima serie converge in per il criterio di Leibniz, allora per il teorema di Abel c'è convergenza uniforme in .


Allora, sostituendo ad la sua espressione, calcolo l'integrale richiesto:

Riassumendo:

  1. ho scritto come somma di una serie;
  2. dal teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale valido per le serie, ho scritto anche come somma di una serie.
  3. ho calcolato l'integrale richiesto sfruttando ancora lo stesso teorema, dopo aver verificato che la serie somma di converge in


Esercizio 13.9

Studiare l'insieme di convergenza della serie

con parametro reale.

 


Calcolo il raggio di convergenza usando il criterio del rapporto, tenendo conto che:

  1. se il logaritmo tende a ,
  2. se ottengo
  3. se ,


caso 1

ma per , , ,

e l'insieme di convergenza contiene .


Studio la convergenza in .

Allora la serie in è maggiore della serie
che non converge.


In ho una serie a segni alterni e per poter applicare Leibniz, dimostro che è decrescente, definisco quindi la funzione:

Cerco il denominatore comune:
Il denominatore è positivo per , studio la positività del numeratore:
Allora per la derivata è definitivamente negativa, e la serie di partenza è definitivamente decrescente, allora il criterio di Leibniz è applicabile e la serie converge in .


Caso 2
. In questo caso la serie diventa:

Criterio del rapporto:
e si ottiene nuovamente .


In la serie non converge, perché è la serie armonica generalizzata con . Invece per ottengo la serie a segni alternu:

che è a termini positivi, ha termine generale tendente a 0 ed è decrescente, quindi converge per Leibniz.

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